Exercício 8.

Um elemento estrutural de material com \sigma_{L T}=20 \mathrm{MPa} e \sigma_{L C}=80 \mathrm{MPa} está sujeito a um estado plano de tensão definido por \sigma_{x}=-40 \mathrm{MPa}, \sigma_{y}=-12 \mathrm{MPa} e \tau_{x y}=35 \mathrm{MPa}. Verifique a segurança do elemento considerando o critério de falha de Mohr.

Passo 1

O enunciado dá um elemento com resistência à tração de \sigma_{LT}=20\\ \mathrm{MPa} e à compressão de \sigma_{LC}=80\\ \mathrm{MPa}, submetido a um estado plano de tensão com \sigma_{x}=-40\\ \mathrm{MPa}, \sigma_{y}=-12\\ \mathrm{MPa} e \tau_{xy}=35\\ \mathrm{MPa}. Vamos usar o critério de falha de Mohr, que verifica se as tensões principais permanecem dentro dos limites de tração e compressão do material.

Passo 2

Para encontrar as tensões principais \sigma_{1} e \sigma_{2} usamos
\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}.
Calculemos primeiro a média e o raio:
\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} = \frac{-40 + (-12)}{2} = -26\\ \mathrm{MPa},
\sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} = \sqrt{(-14)^2 + 35^2} = \sqrt{196 + 1225} = \sqrt{1421} \approx 37{,}7\\ \mathrm{MPa}.
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\sigma_{1} = -26 + 37{,}7 \approx 11{,}7\\ \mathrm{MPa}, \quad \sigma_{2} = -26 - 37{,}7 \approx -63{,}7\\ \mathrm{MPa}.

Passo 3

Pelo critério de Mohr para materiais frágeis, devemos ter \sigma_{1} \le \sigma_{LT} e \lvert\sigma_{2}\rvert \le \sigma_{LC}. Aqui
\sigma_{1} = 11{,}7\\ \mathrm{MPa} < 20\\ \mathrm{MPa}, \quad \lvert\sigma_{2}\rvert = 63{,}7\\ \mathrm{MPa} < 80\\ \mathrm{MPa},
ou seja, ambas as condições são satisfeitas.

Passo 4

Como nem a tensão principal máxima ultrapassa \sigma_{LT} nem a compressão principal ultrapassa \sigma_{LC}, o elemento está seguro segundo o critério de Mohr.

Resposta

O elemento está seguro.

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