Um elemento estrutural de material com σ_{L T}=100 \mathrm{MPa} e σ_{L C}=180 \mathrm{MPa} está sujeito a um estado plano de tensão. Calcule o coeficiente de segurança da situação em serviço considerando o critério de falha de Mohr para:
σ_{x}=40 \mathrm{MPa}, σ_{y}=-18 \mathrm{MPa} e τ_{x y}=12 \mathrm{MPa}.

Passo 1

O enunciado dá um estado plano de tensão com \sigma_x=40\,\mathrm{MPa}, \sigma_y=-18\,\mathrm{MPa} e \tau_{xy}=12\,\mathrm{MPa},
e pede o coeficiente de segurança pelo critério de falha de Mohr para um material que tem resistência à tração \sigma_{LT}=100\,\mathrm{MPa} e à compressão \sigma_{LC}=180\,\mathrm{MPa}.
Vamos precisar (i) calcular as tensões principais \sigma_1 e \sigma_2 e (ii) aplicar a forma do critério de Mohr para caso de um esforço de tração e outro de compressão.

Passo 2

As tensões principais em plano são
\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\Bigr)^{2}+\tau_{xy}^{2}}.
Calculando os termos: \displaystyle\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}=\frac{40+(-18)}{2}=11\,\mathrm{MPa}, \displaystyle\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}=\frac{40-(-18)}{2}=29\,\mathrm{MPa}, \sqrt{29^{2}+12^{2}}=\sqrt{841+144}=\sqrt{985}\approx31,4\,\mathrm{MPa}.
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\sigma_1=11+31,4=42,4\,\mathrm{MPa}, \quad \sigma_2=11-31,4=-20,4\,\mathrm{MPa}.

Passo 3

Notamos que \sigma_1>0 e \sigma_2<0, ou seja, um principal em tração e outro em compressão. Nesse caso o critério de Mohr para material frágil usa o envelope que liga (\sigma_{LT},0) a (-\sigma_{LC},0) e o fator de segurança é dado por
n=\frac{\sigma_{LT}\,\sigma_{LC}} {\sigma_{LC}\,\sigma_1 \;-\;\sigma_{LT}\,\sigma_2}\,.

Passo 4

Substituindo \sigma_{LT}=100\,\mathrm{MPa}, \sigma_{LC}=180\,\mathrm{MPa}, \sigma_1=42,4\,\mathrm{MPa} e \sigma_2=-20,4\,\mathrm{MPa}:
n =\frac{100\cdot180}{180\cdot42,4 - 100\cdot(-20,4)} =\frac{18000}{7632+2040} =\frac{18000}{9672} \approx1,86.

Resposta

O coeficiente de segurança pelo critério de Mohr é aproximadamente 1,86.

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