Exercício 6.

Um elemento estrutural feito de material dúctil, com tensão de escoamento \sigma_{E}=440 MPa , está sujeito ao estado de tensão indicado (valores em MPa). Calcule o coeficiente de segurança em relação ao escoamento utilizando (a) o critério da tensão de cisalhamento máxima e (b) o critério da energia de distorção máxima.
\boldsymbol{\sigma}=\left[\begin{array}{ccc} 260 & -120 & 16 \\\\ -120 & 45 & 5 \\\\ 16 & 5 & -12 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá um elemento feito de material dúctil com tensão de escoamento \sigma_{E}=440 MPa e seu estado de tensões
\boldsymbol{\sigma}=\begin{pmatrix} 260 & -120 & 16\\\\ -120 & 45 & 5\\\\ 16 & 5 & -12 \end{pmatrix}
Pede-se o coeficiente de segurança n usando (a) o critério da tensão de cisalhamento máxima (Tresca) e (b) o critério da energia de distorção máxima (von Mises). Para isso precisamos primeiro encontrar as tensões principais \sigma_{1}\ge\sigma_{2}\ge\sigma_{3}.

Passo 2

As tensões principais são as raízes do polinômio característico
\det(\boldsymbol{\sigma}-\lambda\,\mathbf{I})=0
Resolvendo numericamente esse determinante obtemos aproximadamente
\sigma_{1}\approx313{,}5\text{ MPa},\quad \sigma_{2}\approx0{,}7\text{ MPa},\quad \sigma_{3}\approx-21{,}2\text{ MPa}.

Passo 3

(a) No critério de Tresca (tensão de cisalhamento máxima) o valor crítico de cisalhamento é
\tau_{\max} =\frac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2} =\frac{313{,}5-(-21{,}2)}{2} \approx167{,}35\text{ MPa}.
Como o escoamento em cisalhamento ocorre a \tau_{E}=\sigma_{E}/2=440/2=220 MPa, o coeficiente de segurança é
n_{\text{Tresca}} =\frac{\tau_{E}}{\tau_{\max}} =\frac{220}{167{,}35} \approx1{,}32.

Passo 4

(b) No critério de von Mises (energia de distorção) a tensão equivalente é
\sigma_{\text{VM}} =\sqrt{\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^{2}+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^{2}+(\sigma_{3}-\sigma_{1})^{2}}{2}} \approx\sqrt{\frac{312{,}8^{2}+21{,}9^{2}+(-334{,}7)^{2}}{2}} \approx324{,}3\text{ MPa}.
O coeficiente de segurança é
n_{\text{VM}} =\frac{\sigma_{E}}{\sigma_{\text{VM}}} =\frac{440}{324{,}3} \approx1{,}36.

Resposta

(a) n_{\text{Tresca}}\approx1{,}32
(b) n_{\text{VM}}\approx1{,}36

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