Um elemento de massa desprezível, se movimenta ao longo de uma trajetória retilínea, tem seu movimento estabelecido pela função
, na direção
, onde as unidades adotadas são do sistema internacional (SI). Determine para este objeto:
a) sua posição nos instantes
.
b) o seu deslocamento entre os instantes
e
.
c) sua velocidade escalar média entre os instantes
et
.
a) sua posição nos instantes
b) o seu deslocamento entre os instantes
c) sua velocidade escalar média entre os instantes
Passo 1
O enunciado dá a lei do movimento retilíneo do objeto:
com
em metros e
em segundos (SI). Pede-se:
a) a posição nos instantes ,
e
;
b) o deslocamento entre e
;
c) a velocidade escalar média entre e
.
a) a posição nos instantes
b) o deslocamento entre
c) a velocidade escalar média entre
Passo 2
Vamos calcular posições substituindo
na expressão de
. Aqui a regra é simples: para achar a posição em um instante
avalio
.
Primeiro, mostro como calcular termo a termo:
Primeiro, mostro como calcular termo a termo:
onde
é uma posição inicial (metros),
varia linearmente com o tempo e
é a contribuição quadrática.
Calculemos:
Para :
Para
Para
:
Para
:
Passo 3
Agora o deslocamento entre
e
. Definição: deslocamento é a variação da posição, ou seja
Precisamos de
e
.
Calcule
:
Calcule
:
Logo o deslocamento entre
e
é
Passo 4
Para a velocidade escalar média precisamos entender se o objeto mudou de direção no intervalo, porque velocidade escalar média usa a distância total percorrida (não apenas deslocamento). Primeiro calculemos a velocidade instantânea como derivada:
Se , então a velocidade instantânea é
Se
Aqui expliquei: a derivada de
é
, de
é
e de
é
.
Avalio
em
e
para ver o sinal:
Como os sinais são opostos, houve inversão de sentido dentro do intervalo. Encontremos o instante da inversão resolvendo
:
Passo 5
Agora determinamos a distância total percorrida entre
e
. Como houve inversão em
, dividimos o intervalo em dois segmentos: de
a
e de
a
.
Já temos
e
. Calcule
:
Distâncias percorridas:
- do instante
a : . - do instante
a : .
Distância total percorrida
O intervalo de tempo é
. Portanto a velocidade escalar média (definição: distância total percorrida dividida pelo tempo total) é
Observação didática rápida: se tivéssemos usado deslocamento em vez de distância total, obteríamos a velocidade média vetorial
que é diferente da velocidade escalar média porque o sentido mudou durante o percurso.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)