Um elemento de massa desprezível, se movimenta ao longo de uma trajetória retilínea, tem seu movimento estabelecido pela função x=8-6 . t+2 . t^{2}, na direção x, onde as unidades adotadas são do sistema internacional (SI). Determine para este objeto:
a) sua posição nos instantes t=0 \mathrm{~s}, t=3 \mathrm{set}=5 \mathrm{~s}.
b) o seu deslocamento entre os instantes t=1 \mathrm{~s} e t=4 \mathrm{~s}.
c) sua velocidade escalar média entre os instantes t=1 \mathrm{~s} et =4 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a lei do movimento retilíneo do objeto:
x(t)=8-6\cdot t+2\cdot t^{2},
com x em metros e t em segundos (SI). Pede-se:
a) a posição nos instantes t=0\\ \mathrm{s}, t=3\\ \mathrm{s} e t=5\\ \mathrm{s};
b) o deslocamento entre t=1\\ \mathrm{s} e t=4\\ \mathrm{s};
c) a velocidade escalar média entre t=1\\ \mathrm{s} e t=4\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Vamos calcular posições substituindo t na expressão de x(t). Aqui a regra é simples: para achar a posição em um instante t_0 avalio x(t_0).
Primeiro, mostro como calcular termo a termo:
x(t)=8-6t+2t^{2},
onde 8 é uma posição inicial (metros), -6t varia linearmente com o tempo e 2t^{2} é a contribuição quadrática.
Calculemos:
Para t=0:
x(0)=8-6\cdot 0+2\cdot 0^{2}=8-0+0=8\\ \mathrm{m}.
Para t=3:
x(3)=8-6\cdot 3+2\cdot 3^{2}=8-18+2\cdot 9=8-18+18=8\\ \mathrm{m}.
Para t=5:
x(5)=8-6\cdot 5+2\cdot 5^{2}=8-30+2\cdot 25=8-30+50=28\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Agora o deslocamento entre t=1\\ \mathrm{s} e t=4\\ \mathrm{s}. Definição: deslocamento é a variação da posição, ou seja
\Delta x = x(t_{2})-x(t_{1}).
Precisamos de x(1) e x(4).
Calcule x(1):
x(1)=8-6\cdot 1+2\cdot 1^{2}=8-6+2=4\\ \mathrm{m}.
Calcule x(4):
x(4)=8-6\cdot 4+2\cdot 4^{2}=8-24+2\cdot 16=8-24+32=16\\ \mathrm{m}.
Logo o deslocamento entre 1\\ \mathrm{s} e 4\\ \mathrm{s} é
\Delta x = x(4)-x(1)=16-4=12\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Para a velocidade escalar média precisamos entender se o objeto mudou de direção no intervalo, porque velocidade escalar média usa a distância total percorrida (não apenas deslocamento). Primeiro calculemos a velocidade instantânea como derivada:
Se x(t)=8-6t+2t^{2}, então a velocidade instantânea é
v(t)=\frac{dx}{dt}=-6+4t.
Aqui expliquei: a derivada de 8 é 0, de -6t é -6 e de 2t^{2} é 4t.
Avalio v em t=1 e t=4 para ver o sinal:
v(1)=-6+4\cdot 1=-6+4=-2\\ \mathrm{m/s}\quad(\text{movendo-se no sentido negativo})
v(4)=-6+4\cdot 4=-6+16=10\\ \mathrm{m/s}\quad(\text{movendo-se no sentido positivo})
Como os sinais são opostos, houve inversão de sentido dentro do intervalo. Encontremos o instante da inversão resolvendo v(t)=0:
-6+4t=0 \implies t=\frac{6}{4}=1{,}5\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Agora determinamos a distância total percorrida entre t=1 e t=4. Como houve inversão em t=1{,}5, dividimos o intervalo em dois segmentos: de 1 a 1{,}5 e de 1{,}5 a 4.
Já temos x(1)=4\\ \mathrm{m} e x(4)=16\\ \mathrm{m}. Calcule x(1{,}5):
x(1{,}5)=8-6\cdot 1{,}5+2\cdot (1{,}5)^{2}=8-9+2\cdot 2{,}25=8-9+4{,}5=3{,}5\\ \mathrm{m}.
Distâncias percorridas:
  • do instante 1 a 1{,}5: |x(1{,}5)-x(1)|=|3{,}5-4|=0{,}5\\ \mathrm{m}.
  • do instante 1{,}5 a 4: |x(4)-x(1{,}5)|=|16-3{,}5|=12{,}5\\ \mathrm{m}.
Distância total percorrida =0{,}5+12{,}5=13\\ \mathrm{m}.
O intervalo de tempo é 4-1=3\\ \mathrm{s}. Portanto a velocidade escalar média (definição: distância total percorrida dividida pelo tempo total) é
\bar v_{\text{escalar}}=\frac{\text{distância total}}{\Delta t}=\frac{13}{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 4{,}333\\ \mathrm{m/s}.â
Observação didática rápida: se tivéssemos usado deslocamento em vez de distância total, obteríamos a velocidade média vetorial
\bar v_{\text{vetorial}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{12}{3}=4\\ \mathrm{m/s},
que é diferente da velocidade escalar média porque o sentido mudou durante o percurso.

Resposta

a) x(0)=8\\ \mathrm{m},\; x(3)=8\\ \mathrm{m},\; x(5)=28\\ \mathrm{m}.
b) \Delta x=12\\ \mathrm{m}.
c) \bar v_{\text{escalar}}=\dfrac{13}{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 4{,}333\\ \mathrm{m/s}.

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