Um elemento de solo no campo apresenta, no instante de ruptura, tensão
e poropressão
, sendo que o plano principal menor está inclinado de
com a direção horizontal. Ensaios triaxiais CD previamente executados com amostras deste solo indicaram um ângulo de atrito de
e um intercepto coesivo de 15 kPa . Para as condições de ruptura no campo, pede-se:
a) Calcular a tensão cisalhante máxima:
b) Calcular a resistência ao cisalhamento:
c) Estimar a direção da superfície de ruptura: 14,8 graus
a) Calcular a tensão cisalhante máxima:
b) Calcular a resistência ao cisalhamento:
c) Estimar a direção da superfície de ruptura: 14,8 graus
Passo 1
Resumo do que o enunciado dá e pede (tudo clarinho, sem resolver ainda):
-
Dados fornecidos:
(tensão total no instante da ruptura);
poropressão.
Ensaios triaxiais CD indicaram:
(ângulo de atrito) e (intercepto coesivo).
O enunciado informa também que o plano principal menor está inclinado decom a horizontal. (Vou usar essa informação para achar a orientação absoluta dos eixos principais e, a partir daí, a orientação da superfície de ruptura.) -
O que se pede:
(a) calcular a tensão cisalhante máxima no ponto de ruptura;
(b) calcular a resistência ao cisalhamento (força de cisalhamento atuante na superfície de ruptura segundo o critério de Mohr–Coulomb);
(c) estimar a direção (ângulo com a horizontal) da superfície de ruptura. -
Observações importantes (para não me perder depois):
- Em mecânica dos solos usamos frequentemente tensões efetivas
quando os parâmetros e são coeficientes efetivos (ensaio CD). O c dado é coesão eficaz e é ângulo eficaz: então vou trabalhar com tensões eficazes para aplicar o critério de ruptura, e sempre vou explicitar quando subtraio . - A tensão cisalhante máxima em um campo de tensões bidimensional é
(essa forma vale tanto em tensões totais quanto em efetivas para o cisalhamento, pois a poropressão afeta só as componentes normais). - Para relacionar
e no estado de ruptura com Mohr–Coulomb existe uma fórmula direta (vou deduzir e usar).
- Em mecânica dos solos usamos frequentemente tensões efetivas
Passo 2
Converter para tensões efetivas e calcular
.
- Por definição de tensão efetiva:
- Substituindo os valores:
Explicação didática rápida: a poropressão
“carrega” parte do esforço normal; o solo “sente”
. Como
e
foram obtidos em ensaio CD (parametros efetivos), todas as comparações de resistência com tensões devem ser feitas em termos de tensões efetivas.
Passo 3
Relação de Mohr–Coulomb entre
e
no ponto de ruptura (dedução e uso).
- Ideia física/geométrica: no espaço
o círculo de Mohr com centro e raio é tangente à reta de envelope . A condição de tangência fornece uma relação entre , , e . O resultado clássico (pode ser obtido fazendo substituição do ponto de tangência na equação do círculo e impondo discriminante zero) é:
- Vou usar essa fórmula (ela é muito usada em geotecnia; se quiser eu mostro a dedução algébrica passo a passo, mas é um pouco extensa).
Passo 4
Determinar
usando a fórmula de ruptura.
- Calcular
e para :
- Calcular os coeficientes da fórmula:
- Substituir
na equação e isolar :
- A tensão total correspondente é
Interpretação: nos termos efetivos, o círculo de Mohr em ruptura tem
e
.
Passo 5
Calcular a tensão cisalhante máxima (item a).
- Fórmula direta (propriedade do círculo de Mohr):
Observação: o cisalhamento máximo entre planos naquele ponto depende da diferença entre as principais; como a poropressão atua igualmente nas normais, o valor do cisalhamento máximo é o mesmo se eu usar tensões totais ou efetivas (mas aqui usei totais na fórmula conforme valores dados).
- Substituindo os valores totais:
- Arredondando razoavelmente:
Comentário didático: essa é a máxima componente de cisalhamento possível no ponto, corresponde ao raio do círculo de Mohr.
Passo 6
Calcular a resistência ao cisalhamento (item b) — ou seja, o cisalhamento atuante na superfície de ruptura segundo Mohr–Coulomb.
-
No ponto de tangência (superfície de ruptura) os valores
do ponto sobre o círculo satisfazem a reta . Podemos calcular a coordenada do ponto de tangência de duas maneiras; uma muito prática é usar as identidades trigonométricas do círculo: - Para uma superfície cujo normal forma um ângulo
com a direção de (aqui é o ângulo entre a direção da tensão principal e a NORMAL à superfície), as coordenadas do ponto na circunferência são
ondee . - A condição de tangência ao envelope de inclinação
fornece o ângulo
quandoé medido do eixo de até a normal ao plano (essa forma é a que se ajusta às convenções usadas aqui). - Para uma superfície cujo normal forma um ângulo
-
Vamos calcular
e :
- Determinar
:
- Calcular a componente de cisalhamento no ponto de tangência:
Como
(note que
), obtemos
-
Verificação alternativa (a própria lei de Coulomb) — calcular
no ponto de tangência e aplicar : - Primeiro
. Como , então
- Aplicando Mohr–Coulomb:
que bate com o valor anterior (consistência boa). - Primeiro
-
Arredondando:
Comentário didático: esse é o cisalhamento que o solo “pode suportar” naquele ponto segundo o envelope Mohr–Coulomb (parâmetros efetivos). Note que é menor que
(30,4 kPa), ou seja, o momento de ruptura ocorre quando a circunferência alcança a reta de Coulomb.
Passo 7
Estimar a direção da superfície de ruptura (item c).
- Primeiro entendimento geométrico: o ângulo entre a direção de
(eixo do maior esforço principal) e a NORMAL à superfície de ruptura é
Mas frequentemente quer-se o ângulo que a SUPERFÍCIE de ruptura (não a normal) faz com a direção de
. Como a superfície é perpendicular à sua normal, esse ângulo é
Esse último é o ângulo entre a superfície de ruptura e a direção de
.
- Com
temos
-
Agora precisamos da orientação absoluta em relação à horizontal. O enunciado disse: “o plano principal menor está inclinado de
com a direção horizontal.” A interpretação prática que vamos usar (a mais direta) é: - o plano do principal menor tem inclinação
com a horizontal, - isso implica que a DIREÇÃO da tensão principal
(ou seja, a normal ao plano principal menor) está a em relação à horizontal (essa é a convenção adotada aqui; se o enunciado referir a outra convenção o deslocamento angular muda em 90°, mas o procedimento geométrico é o mesmo).
- o plano do principal menor tem inclinação
-
Assim a direção absoluta da superfície de ruptura (ângulo com a horizontal) pode ser obtida somando (ou subtraindo) o ângulo entre a superfície e
à direção de . Há duas faces simétricas da superfície (duas orientações possíveis, simétricas); escolhemos a que fica com ângulo menor positivo em relação à horizontal:
O valor negativo indica que a superfície está
abaixo da horizontal (a outra simétrica estaria a
acima da horizontal). Em módulo, a direção corresponde a um ângulo de
- Arredondando e expressando como “direção” positiva em relação à horizontal (tomando o menor ângulo agudo):
Comentário: dependendo da convenção de medição do ângulo do plano principal menor (se estiverem medindo a direção da normal ou do próprio plano), pode aparecer um ajuste de
. A forma de obter o valor é sempre a mesma: achar o ângulo entre
e a superfície pela fórmula
e então somar/subtrair da orientação absoluta de
.
Resposta
(a)
(b)
(c)