Um elemento de solo no campo apresenta, no instante de ruptura, tensão \sigma_{1}=90 \mathrm{kPa} e poropressão u=20 \mathrm{kPa}, sendo que o plano principal menor está inclinado de +20^{\circ} com a direção horizontal. Ensaios triaxiais CD previamente executados com amostras deste solo indicaram um ângulo de atrito de 25^{\circ} e um intercepto coesivo de 15 kPa . Para as condições de ruptura no campo, pede-se:
a) Calcular a tensão cisalhante máxima: \quad 30,4 \mathrm{kPa}
b) Calcular a resistência ao cisalhamento: 26,6 \mathrm{kPa}
c) Estimar a direção da superfície de ruptura: 14,8 graus

Passo 1

Resumo do que o enunciado dá e pede (tudo clarinho, sem resolver ainda):
  • Dados fornecidos:
    \sigma_{1}=90\\ \mathrm{kPa} (tensão total no instante da ruptura);
    poropressão u=20\\ \mathrm{kPa}.
    Ensaios triaxiais CD indicaram:
    \varphi=25^\circ (ângulo de atrito) e c=15\\ \mathrm{kPa} (intercepto coesivo).
    O enunciado informa também que o plano principal menor está inclinado de +20^\circ com a horizontal. (Vou usar essa informação para achar a orientação absoluta dos eixos principais e, a partir daí, a orientação da superfície de ruptura.)
  • O que se pede:
    (a) calcular a tensão cisalhante máxima no ponto de ruptura;
    (b) calcular a resistência ao cisalhamento (força de cisalhamento atuante na superfície de ruptura segundo o critério de Mohr–Coulomb);
    (c) estimar a direção (ângulo com a horizontal) da superfície de ruptura.
  • Observações importantes (para não me perder depois):
    • Em mecânica dos solos usamos frequentemente tensões efetivas \sigma'=\sigma-u quando os parâmetros c e \varphi são coeficientes efetivos (ensaio CD). O c dado é coesão eficaz e \varphi é ângulo eficaz: então vou trabalhar com tensões eficazes para aplicar o critério de ruptura, e sempre vou explicitar quando subtraio u.
    • A tensão cisalhante máxima em um campo de tensões bidimensional é (\sigma_1-\sigma_3)/2 (essa forma vale tanto em tensões totais quanto em efetivas para o cisalhamento, pois a poropressão afeta só as componentes normais).
    • Para relacionar \sigma_1' e \sigma_3' no estado de ruptura com Mohr–Coulomb existe uma fórmula direta (vou deduzir e usar).

Passo 2

Converter para tensões efetivas e calcular \sigma_1'.
  • Por definição de tensão efetiva:
\sigma_1'=\sigma_1-u.
  • Substituindo os valores:
\sigma_1' = 90 - 20 = 70\\ \mathrm{kPa}.
Explicação didática rápida: a poropressão u “carrega” parte do esforço normal; o solo “sente” \sigma'=\sigma-u. Como c e \varphi foram obtidos em ensaio CD (parametros efetivos), todas as comparações de resistência com tensões devem ser feitas em termos de tensões efetivas.

Passo 3

Relação de Mohr–Coulomb entre \sigma_1' e \sigma_3' no ponto de ruptura (dedução e uso).
  • Ideia física/geométrica: no espaço (\sigma_n,\tau) o círculo de Mohr com centro m=\dfrac{\sigma_1'+\sigma_3'}{2} e raio R=\dfrac{\sigma_1'-\sigma_3'}{2} é tangente à reta de envelope \tau = c + \sigma_n \tan\varphi. A condição de tangência fornece uma relação entre \sigma_1', \sigma_3', c e \varphi. O resultado clássico (pode ser obtido fazendo substituição do ponto de tangência na equação do círculo e impondo discriminante zero) é:
\sigma_1' \;=\; \sigma_3'\,\frac{1+\sin\varphi}{1-\sin\varphi} \;+\; \frac{2c\cos\varphi}{1-\sin\varphi}.
  • Vou usar essa fórmula (ela é muito usada em geotecnia; se quiser eu mostro a dedução algébrica passo a passo, mas é um pouco extensa).

Passo 4

Determinar \sigma_3' usando a fórmula de ruptura.
  • Calcular \sin\varphi e \cos\varphi para \varphi=25^\circ:
\sin25^\circ\approx 0,422618,\qquad \cos25^\circ\approx 0,906308.
  • Calcular os coeficientes da fórmula:
\frac{1+\sin\varphi}{1-\sin\varphi} =\frac{1+0,422618}{1-0,422618} =\frac{1,422618}{0,577382}\approx 2,46497,
\frac{2c\cos\varphi}{1-\sin\varphi} =\frac{2\cdot 15\cdot 0,906308}{0,577382} \approx \frac{27,1892}{0,577382}\approx 47,103\\ \mathrm{kPa}.
  • Substituir \sigma_1'=70\\ \mathrm{kPa} na equação e isolar \sigma_3':
70 = 2{,}46497\,\sigma_3' + 47{,}103
\Rightarrow \sigma_3' = \frac{70-47{,}103}{2{,}46497}\approx \frac{22{,}897}{2{,}46497}\approx 9{,}29\\ \mathrm{kPa}.
  • A tensão total correspondente é
\sigma_3 = \sigma_3'+u \approx 9{,}29 + 20 = 29{,}29\\ \mathrm{kPa}.
Interpretação: nos termos efetivos, o círculo de Mohr em ruptura tem \sigma_1'=70\\ \mathrm{kPa} e \sigma_3'\approx 9{,}29\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Calcular a tensão cisalhante máxima (item a).
  • Fórmula direta (propriedade do círculo de Mohr):
\tau_{\max} = \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}.
Observação: o cisalhamento máximo entre planos naquele ponto depende da diferença entre as principais; como a poropressão atua igualmente nas normais, o valor do cisalhamento máximo é o mesmo se eu usar tensões totais ou efetivas (mas aqui usei totais na fórmula conforme valores dados).
  • Substituindo os valores totais:
\tau_{\max} = \frac{90 - 29{,}29}{2} = \frac{60{,}71}{2}\approx 30{,}355\\ \mathrm{kPa}.
  • Arredondando razoavelmente:
\tau_{\max}\approx 30{,}4\\ \mathrm{kPa}.
Comentário didático: essa é a máxima componente de cisalhamento possível no ponto, corresponde ao raio do círculo de Mohr.

Passo 6

Calcular a resistência ao cisalhamento (item b) — ou seja, o cisalhamento atuante na superfície de ruptura segundo Mohr–Coulomb.
  • No ponto de tangência (superfície de ruptura) os valores (\sigma_n',\tau) do ponto sobre o círculo satisfazem a reta \tau = c + \sigma_n' \tan\varphi. Podemos calcular a coordenada do ponto de tangência de duas maneiras; uma muito prática é usar as identidades trigonométricas do círculo:
    • Para uma superfície cujo normal forma um ângulo \alpha com a direção de \sigma_1 (aqui \alpha é o ângulo entre a direção da tensão principal \sigma_1 e a NORMAL à superfície), as coordenadas do ponto na circunferência são
    \sigma_n' = m + R\cos2\alpha,\qquad \tau = R\sin2\alpha,
    onde m=\dfrac{\sigma_1'+\sigma_3'}{2} e R=\dfrac{\sigma_1'-\sigma_3'}{2}.
    • A condição de tangência ao envelope de inclinação \varphi fornece o ângulo
    \alpha_{t} = 45^\circ + \frac{\varphi}{2}
    quando \alpha é medido do eixo de \sigma_1 até a normal ao plano (essa forma é a que se ajusta às convenções usadas aqui).
  • Vamos calcular m e R:
m=\frac{\sigma_1'+\sigma_3'}{2}=\frac{70+9{,}29}{2}=39{,}645\\ \mathrm{kPa},
R=\frac{\sigma_1'-\sigma_3'}{2}=\frac{70-9{,}29}{2}=30{,}355\\ \mathrm{kPa}.
  • Determinar 2\alpha_t:
\alpha_t = 45^\circ + \frac{25^\circ}{2}=45^\circ + 12{,}5^\circ = 57{,}5^\circ,
2\alpha_t = 115^\circ.
  • Calcular a componente de cisalhamento no ponto de tangência:
\tau_{\text{ruptura}} = R\sin(2\alpha_t) = R\sin115^\circ.
Como \sin115^\circ=\sin65^\circ\approx 0{,}906308 (note que \sin(115^\circ)=\sin(65^\circ)=\cos25^\circ), obtemos
\tau_{\text{ruptura}} \approx 30{,}355 \times 0{,}906308 \approx 27{,}52\\ \mathrm{kPa}.
  • Verificação alternativa (a própria lei de Coulomb) — calcular \sigma_n' no ponto de tangência e aplicar \tau = c + \sigma_n' \tan\varphi:
    • Primeiro \sigma_n' = m + R\cos(2\alpha_t). Como \cos115^\circ=\cos(180-65)=-\cos65^\circ=-0{,}422618, então
    \sigma_n' = 39{,}645 + 30{,}355\times(-0{,}422618)\approx 39{,}645 -12{,}83 \approx 26{,}82\\ \mathrm{kPa}.
    • Aplicando Mohr–Coulomb:
    \tau = c + \sigma_n' \tan\varphi \approx 15 + 26{,}82\times 0{,}466308 \approx 15 + 12{,}52 \approx 27{,}52\\ \mathrm{kPa},
    que bate com o valor anterior (consistência boa).
  • Arredondando:
\text{Resistência ao cisalhamento } \approx 27{,}5\\ \mathrm{kPa}.ê
Comentário didático: esse é o cisalhamento que o solo “pode suportar” naquele ponto segundo o envelope Mohr–Coulomb (parâmetros efetivos). Note que é menor que \tau_{\max} (30,4 kPa), ou seja, o momento de ruptura ocorre quando a circunferência alcança a reta de Coulomb.

Passo 7

Estimar a direção da superfície de ruptura (item c).
  • Primeiro entendimento geométrico: o ângulo entre a direção de \sigma_1 (eixo do maior esforço principal) e a NORMAL à superfície de ruptura é
\alpha_t = 45^\circ + \frac{\varphi}{2}.
Mas frequentemente quer-se o ângulo que a SUPERFÍCIE de ruptura (não a normal) faz com a direção de \sigma_1. Como a superfície é perpendicular à sua normal, esse ângulo é
\theta_{\text{(plano vs }\sigma_1)} = 90^\circ - \alpha_t = 45^\circ - \frac{\varphi}{2}.
Esse último é o ângulo entre a superfície de ruptura e a direção de \sigma_1.
  • Com \varphi=25^\circ temos
\theta_{\text{(plano vs }\sigma_1)} = 45^\circ - 12{,}5^\circ = 32{,}5^\circ.
  • Agora precisamos da orientação absoluta em relação à horizontal. O enunciado disse: “o plano principal menor está inclinado de +20^\circ com a direção horizontal.” A interpretação prática que vamos usar (a mais direta) é:
    • o plano do principal menor tem inclinação 20^\circ com a horizontal,
    • isso implica que a DIREÇÃO da tensão principal \sigma_1 (ou seja, a normal ao plano principal menor) está a 20^\circ em relação à horizontal (essa é a convenção adotada aqui; se o enunciado referir a outra convenção o deslocamento angular muda em 90°, mas o procedimento geométrico é o mesmo).
  • Assim a direção absoluta da superfície de ruptura (ângulo com a horizontal) pode ser obtida somando (ou subtraindo) o ângulo entre a superfície e \sigma_1 à direção de \sigma_1. Há duas faces simétricas da superfície (duas orientações possíveis, simétricas); escolhemos a que fica com ângulo menor positivo em relação à horizontal:
\theta_{\text{ruptura, absol}} = 20^\circ - 32{,}5^\circ = -12{,}5^\circ.
O valor negativo indica que a superfície está 12{,}5^\circ abaixo da horizontal (a outra simétrica estaria a 20^\circ+32{,}5^\circ=52{,}5^\circ acima da horizontal). Em módulo, a direção corresponde a um ângulo de
12{,}5^\circ\\ \text{(abaixo da horizontal)}.
  • Arredondando e expressando como “direção” positiva em relação à horizontal (tomando o menor ângulo agudo):
\text{Direção da superfície de ruptura}\approx 12{,}5^\circ.çãí
Comentário: dependendo da convenção de medição do ângulo do plano principal menor (se estiverem medindo a direção da normal ou do próprio plano), pode aparecer um ajuste de 90^\circ. A forma de obter o valor é sempre a mesma: achar o ângulo entre \sigma_1 e a superfície pela fórmula 45^\circ-\varphi/2 e então somar/subtrair da orientação absoluta de \sigma_1.

Resposta

(a) \tau_{\max}\approx 30{,}4\\ \mathrm{kPa}
(b) \text{Resistência ao cisalhamento}\approx 27{,}5\\ \mathrm{kPa}ê
(c) \text{Direção da superfície de ruptura}\approx 12{,}5^\circçãí

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