Um corpo de prova de areia quartzoza com
foi submetido a um ensaio de cisalhamento direto. Na ruptura, registrou-se uma tensão vertical
e uma tensão cisalhante
no plano horizontal. Pede-se:
a) Estimar as magnitudes das tensões principais na ruptura,
b) Estimar as direções (ângulos com a horizontal) dos planos principal maior e de ruptura. 58,3 graus
a) Estimar as magnitudes das tensões principais na ruptura,
b) Estimar as direções (ângulos com a horizontal) dos planos principal maior e de ruptura. 58,3 graus
Passo 1
O enunciado dá:
; na ruptura, no plano horizontal foi medida uma tensão normal vertical
e uma tensão de cisalhamento nesse plano
. O plano considerado no enunciado é o plano horizontal (ou seja: estamos medindo a tração sobre uma superfície horizontal).
As perguntas são:
a) Estimar as magnitudes das tensões principais na ruptura (ou seja, os extremos e
).
b) Estimar as direções (ângulos em relação à horizontal) do plano principal maior (plano em que atua ) e do plano de ruptura.
As perguntas são:
a) Estimar as magnitudes das tensões principais na ruptura (ou seja, os extremos
b) Estimar as direções (ângulos em relação à horizontal) do plano principal maior (plano em que atua
Informações relevantes listadas:
-
é o coeficiente de pressão lateral ao repouso, portanto a tensão horizontal (normal à direção horizontal) antes de considerar rotações é . - Como o plano onde se mediu a cisalha é horizontal, a normal desse plano coincide com a direção vertical; assim, no sistema de eixos com
horizontal e vertical temos:
, e . - Vamos usar a transformação de tensões em 2D (círculo de Mohr / fórmulas de transformação) para obter
e o ângulo das direções principais.
Passo 2
Calcular a tensão horizontal a partir de
.
Explicação didática: dá a razão entre a tensão horizontal e a tensão vertical em repouso. Se a vertical total é
, então a tensão normal principal na direção horizontal é
. Aqui cada símbolo significa:
= tensão normal no sentido horizontal (kPa),
sem unidade,
= tensão vertical (kPa).
Explicação didática:
Calculemos:
Portanto, adotamos para o elemento de tensões em 2D:
Passo 3
Apresentar a fórmula para as tensões principais e explicar cada termo.
Fórmula (transformação 2D / círculo de Mohr):
Fórmula (transformação 2D / círculo de Mohr):
Explicação das variáveis:
-
e são as tensões normais nas faces ortogonais do elemento (kPa). -
é a tensão de cisalhamento sobre essas faces (kPa). - O termo
é o centro do círculo de Mohr (média das normais). - O radical é o raio do círculo (dá a amplitude da diferença entre
e ). - O sinal “
” dá (maior) e “ ” dá (menor).
Passo 4
Substituir os valores e calcular passo a passo (não pule etapas).
Calcule a média:
Calcule a média:
Calcule a metade da diferença:
Calcule o quadrado desse termo:
Calcule o quadrado da tensão de cisalhamento:
Some os dois quadrados para obter o termo dentro da raiz:
Agora a raiz (o raio do círculo):
(Explicação rápida: usamos uma aproximação numérica controlada; esse valor é o raio do círculo de Mohr e determina quanto
é maior que a média e quanto
é menor.)
Finalmente, calcule
e
:
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais):
Passo 5
Calcular a direção (ângulo) dos planos principais — derivação e interpretação.
Fórmula para o ângulo entre o eixo
(horizontal, direção de
) e o plano principal (plano onde a tração tem normal igual a
ou
):
Fórmula para o ângulo
Explicação: a fórmula vem da condição de anular a tensão de cisalhamento no novo referencial girado de
; o argumento
aparece porque a transformação depende de dois ângulos. O sinal e o valor do ângulo indicam a rotação necessária para alinhar com as direções principais.
Substituindo os números:
Calcule
:
Portanto,
Interpretação: esse ângulo negativo significa que a rotação do sistema
-
necessária para eliminar a cisalha é no sentido horário. Como há duas direções principais ortogonais, a outra solução útil (a que nos dá a direção da máxima tensão principal
medida positivamente a partir da horizontal no sentido anti-horário) obtém-se somando
a
:
Conclusão interpretativa: a direção do plano (linha) onde atua
faz um ângulo de aproximadamente
com a horizontal (medido no sentido anti-horário). A outra direção principal (associada a
) está a
ou, em valor positivo, a
abaixo da horizontal.
Passo 6
Comentário prático sobre o plano de ruptura.
No enunciado a cisalha foi medida no plano horizontal (ou seja, o plano de ruptura experimental é o plano horizontal onde foi registrada). Logo o ângulo do plano de ruptura com a horizontal é
(é a própria horizontal). Se a pergunta quisesse o ângulo entre o plano de ruptura e o plano principal maior, esse ângulo é a diferença entre
e
, i.e. cerca de
. Em muitos enunciados de mecânica dos solos interessa o ângulo entre o plano de ruptura e as direções principais; fique atento à convenção pedida.
No enunciado a cisalha foi medida no plano horizontal (ou seja, o plano de ruptura experimental é o plano horizontal onde
Resposta
(a)
,
(b) direção do plano do maior principal: com a horizontal; plano de ruptura (dado no enunciado) =
com a horizontal.
(b) direção do plano do maior principal: