Um corpo de prova de areia quartzoza com \mathrm{k}_{0}=0,45 foi submetido a um ensaio de cisalhamento direto. Na ruptura, registrou-se uma tensão vertical \sigma_{\mathrm{v}}=60 \mathrm{kPa} e uma tensão cisalhante \tau=30 \mathrm{kPa} no plano horizontal. Pede-se:
a) Estimar as magnitudes das tensões principais na ruptura, \sigma_{3}=41,5 \mathrm{kPa} \quad \sigma_{1}=108,5 \mathrm{kPa}
b) Estimar as direções (ângulos com a horizontal) dos planos principal maior e de ruptura. 58,3 graus

Passo 1

O enunciado dá: \mathrm{k}_{0}=0{,}45; na ruptura, no plano horizontal foi medida uma tensão normal vertical \sigma_{\mathrm{v}}=60\\ \mathrm{kPa} e uma tensão de cisalhamento nesse plano \tau=30\\ \mathrm{kPa}. O plano considerado no enunciado é o plano horizontal (ou seja: estamos medindo a tração sobre uma superfície horizontal).
As perguntas são:
a) Estimar as magnitudes das tensões principais na ruptura (ou seja, os extremos \sigma_1 e \sigma_3).
b) Estimar as direções (ângulos em relação à horizontal) do plano principal maior (plano em que atua \sigma_1) e do plano de ruptura.
Informações relevantes listadas:
  • \mathrm{k}_{0} é o coeficiente de pressão lateral ao repouso, portanto a tensão horizontal (normal à direção horizontal) antes de considerar rotações é \sigma_{h}=\mathrm{k}_{0}\,\sigma_{\mathrm{v}}.
  • Como o plano onde se mediu a cisalha é horizontal, a normal desse plano coincide com a direção vertical; assim, no sistema de eixos com x horizontal e y vertical temos:
    \sigma_x=\sigma_h, \sigma_y=\sigma_{\mathrm{v}} e \tau_{xy}=\tau.
  • Vamos usar a transformação de tensões em 2D (círculo de Mohr / fórmulas de transformação) para obter \sigma_1,\sigma_3 e o ângulo das direções principais.

Passo 2

Calcular a tensão horizontal a partir de \mathrm{k}_{0}.
Explicação didática: \mathrm{k}_{0} dá a razão entre a tensão horizontal e a tensão vertical em repouso. Se a vertical total é \sigma_{\mathrm{v}}, então a tensão normal principal na direção horizontal é \sigma_h=\mathrm{k}_{0}\,\sigma_{\mathrm{v}}. Aqui cada símbolo significa: \sigma_h = tensão normal no sentido horizontal (kPa), \mathrm{k}_{0} sem unidade, \sigma_{\mathrm{v}} = tensão vertical (kPa).
Calculemos:
\sigma_{h}=\mathrm{k}_{0}\,\sigma_{\mathrm{v}}=0{,}45\times 60\\ \mathrm{kPa}=27\\ \mathrm{kPa}.
Portanto, adotamos para o elemento de tensões em 2D:
\sigma_x=\sigma_{h}=27\\ \mathrm{kPa},\quad \sigma_y=\sigma_{\mathrm{v}}=60\\ \mathrm{kPa},\quad \tau_{xy}=30\\ \mathrm{kPa}.

Passo 3

Apresentar a fórmula para as tensões principais e explicar cada termo.
Fórmula (transformação 2D / círculo de Mohr):
\sigma_{1,3}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^{2}+\tau_{xy}^{2}}.
Explicação das variáveis:
  • \sigma_x e \sigma_y são as tensões normais nas faces ortogonais do elemento (kPa).
  • \tau_{xy} é a tensão de cisalhamento sobre essas faces (kPa).
  • O termo \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} é o centro do círculo de Mohr (média das normais).
  • O radical é o raio do círculo (dá a amplitude da diferença entre \sigma_1 e \sigma_3).
  • O sinal “ +” dá \sigma_1 (maior) e “ -” dá \sigma_3 (menor).

Passo 4

Substituir os valores e calcular passo a passo (não pule etapas).
Calcule a média:
\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}=\frac{27+60}{2}=\frac{87}{2}=43{,}5\\ \mathrm{kPa}.
Calcule a metade da diferença:
\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}=\frac{27-60}{2}=\frac{-33}{2}=-16{,}5\\ \mathrm{kPa}.
Calcule o quadrado desse termo:
\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^{2}=(-16{,}5)^{2}=272{,}25\\ \mathrm{(kPa)^2}.
Calcule o quadrado da tensão de cisalhamento:
\tau_{xy}^{2}=30^{2}=900\\ \mathrm{(kPa)^2}.
Some os dois quadrados para obter o termo dentro da raiz:
272{,}25+900=1172{,}25\\ \mathrm{(kPa)^2}.
Agora a raiz (o raio do círculo):
\sqrt{1172{,}25}\approx 34{,}238\\ \mathrm{kPa}.
(Explicação rápida: usamos uma aproximação numérica controlada; esse valor é o raio do círculo de Mohr e determina quanto \sigma_1 é maior que a média e quanto \sigma_3 é menor.)
Finalmente, calcule \sigma_1 e \sigma_3:
\sigma_1=43{,}5+34{,}238\approx 77{,}738\\ \mathrm{kPa},
\sigma_3=43{,}5-34{,}238\approx 9{,}262\\ \mathrm{kPa}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais):
\sigma_1\approx 77{,}74\\ \mathrm{kPa},\quad \sigma_3\approx 9{,}26\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Calcular a direção (ângulo) dos planos principais — derivação e interpretação.
Fórmula para o ângulo \theta_p entre o eixo x (horizontal, direção de \sigma_x) e o plano principal (plano onde a tração tem normal igual a \sigma_1 ou \sigma_3):
\tan(2\theta_p)=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}.
Explicação: a fórmula vem da condição de anular a tensão de cisalhamento no novo referencial girado de \theta_p; o argumento 2\theta_p aparece porque a transformação depende de dois ângulos. O sinal e o valor do ângulo indicam a rotação necessária para alinhar com as direções principais.
Substituindo os números:
\tan(2\theta_p)=\frac{2\cdot 30}{27-60}=\frac{60}{-33}=-1{,}818181\ldots
Calcule 2\theta_p:
2\theta_p=\arctan(-1{,}818181\ldots)\approx -61{,}9275^\circ.
Portanto,
\theta_p\approx -30{,}9638^\circ.
Interpretação: esse ângulo negativo significa que a rotação do sistema x- y necessária para eliminar a cisalha é no sentido horário. Como há duas direções principais ortogonais, a outra solução útil (a que nos dá a direção da máxima tensão principal \sigma_1 medida positivamente a partir da horizontal no sentido anti-horário) obtém-se somando 90^\circ a \theta_p:
\theta_{\sigma_1}=\theta_p+90^\circ\approx -30{,}9638^\circ+90^\circ=59{,}0362^\circ.
Conclusão interpretativa: a direção do plano (linha) onde atua \sigma_1 faz um ângulo de aproximadamente 59{,}04^\circ com a horizontal (medido no sentido anti-horário). A outra direção principal (associada a \sigma_3) está a 59{,}04^\circ-90^\circ=-30{,}96^\circ ou, em valor positivo, a 30{,}96^\circ abaixo da horizontal.

Passo 6

Comentário prático sobre o plano de ruptura.
No enunciado a cisalha foi medida no plano horizontal (ou seja, o plano de ruptura experimental é o plano horizontal onde \tau=30\\ \mathrm{kPa} foi registrada). Logo o ângulo do plano de ruptura com a horizontal é 0^\circ (é a própria horizontal). Se a pergunta quisesse o ângulo entre o plano de ruptura e o plano principal maior, esse ângulo é a diferença entre 0^\circ e \theta_{\sigma_1}, i.e. cerca de 59{,}04^\circ. Em muitos enunciados de mecânica dos solos interessa o ângulo entre o plano de ruptura e as direções principais; fique atento à convenção pedida.

Resposta

(a) \sigma_1\approx 77{,}74\\ \mathrm{kPa}, \sigma_3\approx 9{,}26\\ \mathrm{kPa}
(b) direção do plano do maior principal: \approx 59{,}04^\circ com a horizontal; plano de ruptura (dado no enunciado) = 0^\circ com a horizontal.

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