Um ensaio triaxial drenado de compressão axial com tensão confinante de 200 kPa apresentou um acréscimo de tensão axial de 800 kPa no instante da ruptura. O plano de ruptura formou um ângulo de 60^{\circ} com plano principal maior. Pede-se:
a) as tensões atuantes no plano de ruptura, no momento da ruptura; \sigma_{\text {ruptura }}=400.0 \mathrm{kPa} e \tau_{\text {ruptura }}=346,4 \mathrm{kPa}
b) os valores dos parâmetros c’ e \varphi '. \mathrm{c}^{\prime}=\mathrm{c}=115,5 \mathrm{kPa} e \varphi^{\prime}=30 graus.

Passo 1

Enunciado (o que se dá e o que se pede):
  • É um ensaio triaxial drenado de compressão axial com tensão confinante (pressão radial) igual a 200\\ \mathrm{kPa}.
  • No momento da ruptura houve um acréscimo de tensão axial igual a 800\\ \mathrm{kPa}.
  • O plano de ruptura formou um ângulo de 60^\circ com o plano principal maior.
  • Pede-se:
    a) as tensões atuantes no plano de ruptura, no momento da ruptura: \sigma_{\text{ruptura}} (tensão normal ao plano) e \tau_{\text{ruptura}} (tensão de cisalhamento no plano);
    b) os parâmetros de resistência ao cisalhamento drenada c' e \varphi'.
  • Valores alvo informados para conferência (devem ser obtidos): \sigma_{\text{ruptura}}=400,0\\ \mathrm{kPa} e \tau_{\text{ruptura}}=346,4\\ \mathrm{kPa}; c'=115,5\\ \mathrm{kPa} e \varphi'=30^\circ.

Passo 2

Identificando as tensões principais no instante da ruptura:
  • Em um ensaio triaxial padrão com tensão confinante \sigma_3 e com aumento axial \Delta\sigma_a, a tensão axial principal maior \sigma_1 ao colapso é
\sigma_1=\sigma_3+\Delta\sigma_a.
  • Aqui \sigma_3=200\\ \mathrm{kPa} e \Delta\sigma_a=800\\ \mathrm{kPa}. Logo
\sigma_1=200+800=1000\\ \mathrm{kPa}.
  • Concluímos que os dois principais relevantes são \sigma_1=1000\\ \mathrm{kPa} e \sigma_3=200\\ \mathrm{kPa}.

Passo 3

Como calcular a tensão normal e a tensão de cisalhamento num plano orientado em relação às direções principais:
  • Fórmulas de transformação (ou fórmulas do círculo de Mohr) para um plano que forma ângulo \theta com o plano principal maior (ou seja, o ângulo entre o plano de ruptura e o plano em que atua \sigma_1 é \theta):
\sigma_n=\frac{\sigma_1+\sigma_3}{2}+\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\cos(2\theta)
\tau=\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\sin(2\theta)
  • Explicação rápida de cada termo:
    • \sigma_n é a componente normal da tensão sobre o plano considerado (positiva por compressão).
    • \tau é a componente de cisalhamento sobre o mesmo plano.
    • \frac{\sigma_1+\sigma_3}{2} é o centro do círculo de Mohr (média das principais).
    • \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2} é o raio do círculo de Mohr.
    • O fator 2\theta aparece porque a rotação do plano no espaço físico corresponde a dobro da rotação na representação de Mohr.

Passo 4

Aplicando as fórmulas ao nosso caso (cálculo numérico de \sigma_{\text{ruptura}} e \tau_{\text{ruptura}}):
  • Usamos \theta=60^\circ, \sigma_1=1000\\ \mathrm{kPa}, \sigma_3=200\\ \mathrm{kPa}.
  • Calcule a média e o semi-diferença:
\frac{\sigma_1+\sigma_3}{2}=\frac{1000+200}{2}=600\\ \mathrm{kPa},
\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}=\frac{1000-200}{2}=400\\ \mathrm{kPa}.
  • Agora a normal:
\sigma_{\text{ruptura}}=\sigma_n=600+400\cos(2\cdot 60^\circ).
Calcule \cos(120^\circ)=-\tfrac{1}{2}, então
\sigma_{\text{ruptura}}=600+400\left(-\tfrac{1}{2}\right)=600-200=400\\ \mathrm{kPa}.
  • E o cisalhamento:
\tau_{\text{ruptura}}=400\sin(2\cdot 60^\circ).
Calcule \sin(120^\circ)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, então
\tau_{\text{ruptura}}=400\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}=200\sqrt{3}\approx 346,410\\ \mathrm{kPa}.
  • Arredondando conforme pedido: \sigma_{\text{ruptura}}=400,0\\ \mathrm{kPa} e \tau_{\text{ruptura}}=346,4\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Relação de Mohr-Coulomb e estratégia para obter c' e \varphi':
  • A lei de resistência drenada de Mohr-Coulomb é
\tau=c'+\sigma_n\tan\varphi'.
  • No plano de ruptura conhecemos \tau e \sigma_n, mas isso sozinho dá uma equação com duas incógnitas ( c' e \varphi'). A forma geométrica útil é perceber que a reta \tau=\sigma_n\tan\varphi'+c' é tangente ao círculo de Mohr formado por \sigma_1 e \sigma_3. A condição tangente fornece uma segunda relação que permite resolver c' e \varphi'.

Passo 6

Condição de tangência entre a reta de Mohr-Coulomb e o círculo de Mohr (derivação da relação útil):
  • Centro do círculo: C=(\tfrac{\sigma_1+\sigma_3}{2},0)=(600,0).
  • Raio do círculo: R=\tfrac{\sigma_1-\sigma_3}{2}=400.
  • Equação da reta de resistência:
\tau=\sigma_n\tan\varphi'+c'.
  • Em forma ax+by+g=0 (onde x=\sigma_n e y=\tau) a reta é
-\tan\varphi'\,x + 1\cdot y - c' = 0.
  • A distância d do centro C=(600,0) até essa reta deve ser igual ao raio R quando a reta for tangente. A distância é
d=\frac{|\;-\tan\varphi'\cdot 600 + 1\cdot 0 - c'\;|}{\sqrt{\tan^2\varphi'+1}}=\frac{600\tan\varphi' + c'}{\sqrt{\tan^2\varphi'+1}}.
  • Note que \sqrt{\tan^2\varphi'+1}=\operatorname{sec}\varphi', e \tan\varphi'\operatorname{sec}^{-1}\varphi'=\sin\varphi'. Portanto a condição d=R
600\sin\varphi' + c'\cos\varphi' = 400.
  • Esta é a segunda equação que, junto com a equação do ponto de ruptura, permitirá encontrar c' e \varphi'.

Passo 7

Sistema de equações a resolver:
  • Equação obtida diretamente no ponto de ruptura (substituindo os valores numéricos):
346,410 = 400\tan\varphi' + c'.
  • Equação da condição de tangência:
600\sin\varphi' + c'\cos\varphi' = 400.
  • Vamos resolver esse sistema para \varphi' e c'.

Passo 8

Resolver o sistema (eliminação de c' para obter \varphi'):
  • Da primeira equação isolamos c':
c' = 346,410 - 400\tan\varphi'.
  • Substituímos na segunda:
600\sin\varphi' + \bigl(346,410 - 400\tan\varphi'\bigr)\cos\varphi' = 400.
  • Simplificando usando \tan\varphi'\cos\varphi'=\sin\varphi':
600\sin\varphi' + 346,410\cos\varphi' - 400\sin\varphi' = 400.
  • Agrupando termos:
(600-400)\sin\varphi' + 346,410\cos\varphi' = 400
200\sin\varphi' + 346,410\cos\varphi' = 400.

Passo 9

Resolver a equação trigonométrica para \varphi':
  • Escrevemos na forma A\sin\varphi' + B\cos\varphi' = C com A=200, B=346,410, C=400.
  • O módulo R=\sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{200^2+346,410^2}.
  • Observe que 346,410 veio de 200\sqrt{3}, então
B^2=(200\sqrt{3})^2=200^2\cdot 3=40\,000\cdot 3=120\,000,
A^2=40\,000,
R=\sqrt{40\,000+120\,000}=\sqrt{160\,000}=400.
  • Então podemos escrever
200\sin\varphi' + 346,410\cos\varphi' = 400\sin(\varphi'+\alpha),
onde \cos\alpha=\tfrac{200}{400}=\tfrac{1}{2} e \sin\alpha=\tfrac{346,410}{400}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, isto é \alpha=60^\circ.
  • Portanto a equação reduz-se a
400\sin(\varphi'+60^\circ)=400.
  • Logo \sin(\varphi'+60^\circ)=1, o que implica
\varphi'+60^\circ=90^\circ \quad\Rightarrow\quad \varphi'=30^\circ.

Passo 10

Calcular c' usando \varphi'=30^\circ:
  • Use a equação do ponto de ruptura
c'=346,410 - 400\tan 30^\circ.
  • Sabendo \tan 30^\circ=\tfrac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,577350, temos
c'=346,410 - 400\cdot 0,577350.
  • Calcule 400\cdot 0,577350=230,940. Então
c'=346,410-230,940=115,470\\ \mathrm{kPa}.
  • Arredondando para uma casa decimal conforme solicitado: c'=115,5\\ \mathrm{kPa}.

Resposta

(a) \sigma_{\text{ruptura}}=400,0\\ \mathrm{kPa} e \tau_{\text{ruptura}}=346,4\\ \mathrm{kPa}\n(b) \;c'=115,5\\ \mathrm{kPa} e \varphi'=30^\circ

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