Um ensaio triaxial drenado de compressão axial com tensão confinante de 200 kPa apresentou um acréscimo de tensão axial de 800 kPa no instante da ruptura. O plano de ruptura formou um ângulo de
com plano principal maior. Pede-se:
a) as tensões atuantes no plano de ruptura, no momento da ruptura;
e
b) os valores dos parâmetros c’ e
'.
e
graus.
a) as tensões atuantes no plano de ruptura, no momento da ruptura;
b) os valores dos parâmetros c’ e
Passo 1
Enunciado (o que se dá e o que se pede):
- É um ensaio triaxial drenado de compressão axial com tensão confinante (pressão radial) igual a
. - No momento da ruptura houve um acréscimo de tensão axial igual a
. - O plano de ruptura formou um ângulo de
com o plano principal maior. - Pede-se:
a) as tensões atuantes no plano de ruptura, no momento da ruptura:(tensão normal ao plano) e (tensão de cisalhamento no plano);
b) os parâmetros de resistência ao cisalhamento drenadae . - Valores alvo informados para conferência (devem ser obtidos):
e ; e .
Passo 2
Identificando as tensões principais no instante da ruptura:
- Em um ensaio triaxial padrão com tensão confinante
e com aumento axial , a tensão axial principal maior ao colapso é
- Aqui
e . Logo
- Concluímos que os dois principais relevantes são
e .
Passo 3
Como calcular a tensão normal e a tensão de cisalhamento num plano orientado em relação às direções principais:
- Fórmulas de transformação (ou fórmulas do círculo de Mohr) para um plano que forma ângulo
com o plano principal maior (ou seja, o ângulo entre o plano de ruptura e o plano em que atua é ):
- Explicação rápida de cada termo:
-
é a componente normal da tensão sobre o plano considerado (positiva por compressão). -
é a componente de cisalhamento sobre o mesmo plano. -
é o centro do círculo de Mohr (média das principais). -
é o raio do círculo de Mohr. - O fator
aparece porque a rotação do plano no espaço físico corresponde a dobro da rotação na representação de Mohr.
-
Passo 4
Aplicando as fórmulas ao nosso caso (cálculo numérico de
e
):
- Usamos
, , . - Calcule a média e o semi-diferença:
- Agora a normal:
Calcule
, então
- E o cisalhamento:
Calcule
, então
- Arredondando conforme pedido:
e .
Passo 5
Relação de Mohr-Coulomb e estratégia para obter
e
:
- A lei de resistência drenada de Mohr-Coulomb é
- No plano de ruptura conhecemos
e , mas isso sozinho dá uma equação com duas incógnitas ( e ). A forma geométrica útil é perceber que a reta é tangente ao círculo de Mohr formado por e . A condição tangente fornece uma segunda relação que permite resolver e .
Passo 6
Condição de tangência entre a reta de Mohr-Coulomb e o círculo de Mohr (derivação da relação útil):
- Centro do círculo:
. - Raio do círculo:
. - Equação da reta de resistência:
- Em forma
(onde e ) a reta é
- A distância
do centro até essa reta deve ser igual ao raio quando a reta for tangente. A distância é
- Note que
, e . Portanto a condição dá
- Esta é a segunda equação que, junto com a equação do ponto de ruptura, permitirá encontrar
e .
Passo 7
Sistema de equações a resolver:
- Equação obtida diretamente no ponto de ruptura (substituindo os valores numéricos):
- Equação da condição de tangência:
- Vamos resolver esse sistema para
e .
Passo 8
Resolver o sistema (eliminação de
para obter
):
- Da primeira equação isolamos
:
- Substituímos na segunda:
- Simplificando usando
:
- Agrupando termos:
Passo 9
Resolver a equação trigonométrica para
:
- Escrevemos na forma
com , , . - O módulo
. - Observe que
veio de , então
- Então podemos escrever
onde
e
, isto é
.
- Portanto a equação reduz-se a
- Logo
, o que implica
Passo 10
Calcular
usando
:
- Use a equação do ponto de ruptura
- Sabendo
, temos
- Calcule
. Então
- Arredondando para uma casa decimal conforme solicitado:
.
Resposta
(a)
e
\n(b)
e