Um elemento
se diz inversível se existe
tal que
. Mostre que os únicos elementos inversíveis de
são 1 e -1 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, no anel dos inteiros ℤ, os únicos elementos que têm inverso multiplicativo também em ℤ são 1 e –1. O conteúdo aqui é unidade (elemento invertível) em anel e vamos precisar usar a definição de invertibilidade e a noção de divisor.
Passo 2
Lembrando a definição: dizemos que um elemento x∈ℤ é invertível se existe y∈ℤ tal que
. Em outras palavras, x tem um inverso y também inteiro.
Passo 3
Se
é invertível, existe
com
. Isso significa que x divide 1 no conjunto dos inteiros, isto é,
. Por definição de divisibilidade, isso só ocorre se o valor absoluto de
for 1.
De fato, os únicos divisores de 1 em ℤ são 1 e –1, pois não há nenhum outro inteiro cujo produto com outro inteiro resulte exatamente em 1.
De fato, os únicos divisores de 1 em ℤ são 1 e –1, pois não há nenhum outro inteiro cujo produto com outro inteiro resulte exatamente em 1.
Passo 4
Concluímos então que, se x é invertível em ℤ, só pode valer
ou
.
Por fim, verificamos que 1 e –1 de fato satisfazem a condição de invertibilidade: e
. Portanto, são unidades de ℤ.
Por fim, verificamos que 1 e –1 de fato satisfazem a condição de invertibilidade:
Resposta
Os únicos elementos inversíveis em ℤ são 1 e –1.