Um elemento x in Z se diz inversível se existe y in Z tal que x y=1. Mostre que os únicos elementos inversíveis de Z são 1 e -1 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no anel dos inteiros ℤ, os únicos elementos que têm inverso multiplicativo também em ℤ são 1 e –1. O conteúdo aqui é unidade (elemento invertível) em anel e vamos precisar usar a definição de invertibilidade e a noção de divisor.

Passo 2

Lembrando a definição: dizemos que um elemento x∈ℤ é invertível se existe y∈ℤ tal que x,y=1. Em outras palavras, x tem um inverso y também inteiro.

Passo 3

Se x é invertível, existe yinℤ com x,y=1. Isso significa que x divide 1 no conjunto dos inteiros, isto é, xmid 1. Por definição de divisibilidade, isso só ocorre se o valor absoluto de x for 1.
De fato, os únicos divisores de 1 em ℤ são 1 e –1, pois não há nenhum outro inteiro cujo produto com outro inteiro resulte exatamente em 1.

Passo 4

Concluímos então que, se x é invertível em ℤ, só pode valer x=1 ou x=-1.
Por fim, verificamos que 1 e –1 de fato satisfazem a condição de invertibilidade: 1cdot1=1 e (-1)cdot(-1)=1. Portanto, são unidades de ℤ.

Resposta

Os únicos elementos inversíveis em ℤ são 1 e –1.

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