Mostre que:
e que
se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas propriedades do valor absoluto de um inteiro: que
é sempre não negativo e que ele só é zero quando
é zero. O conteúdo aqui é a definição de valor absoluto e como usar essa definição em provas por casos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de valor absoluto. Isso é crucial porque todas as propriedades decorrem diretamente dela.
Passo 3
Para provar que
para todo
, analisamos os dois casos da definição:
- Se
, então , e como por hipótese, concluímos que . - Se
, então . Mas se , o oposto é positivo, ou seja, . Logo , e portanto também nesse caso.
Assim, em qualquer situação,
não pode ser negativo.
Passo 4
Agora, para mostrar que
se, e somente se,
, usamos novamente a definição em dois casos e uma prova de bi-implicação:
(
) Suponha
. Se
, então
, o que dá
. Se
, então
, o que implica também
. Em ambos os casos, chegamos a
.
(
) Se
, basta aplicar a definição: como
, temos
.
Isso completa a prova da bicondicional.
Passo 5
Portanto, reunindo tudo, provamos que para todo inteiro
vale
e que
se, e somente se, $x = 0.
Resposta
Para todo
, temos
e
se, e somente se,
.