Mostre que:
|x| >= 0, forall x in Z e que |x|=0 se, e somente se, x=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas propriedades do valor absoluto de um inteiro: que |x| é sempre não negativo e que ele só é zero quando x é zero. O conteúdo aqui é a definição de valor absoluto e como usar essa definição em provas por casos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de valor absoluto. Isso é crucial porque todas as propriedades decorrem diretamente dela.
|x| = x, & se x >= 0, -x, & se x < 0

Passo 3

Para provar que |x| >= 0 para todo xin Z, analisamos os dois casos da definição:
  • Se x >= 0, então |x| = x, e como x>=0 por hipótese, concluímos que |x| >= 0.
  • Se x < 0, então |x| = -x. Mas se x<0, o oposto -x é positivo, ou seja, -x)>0. Logo |x| = -x > 0, e portanto |x|>=0 também nesse caso.
Assim, em qualquer situação, |x| não pode ser negativo.

Passo 4

Agora, para mostrar que |x| = 0 se, e somente se, x = 0, usamos novamente a definição em dois casos e uma prova de bi-implicação:
( Rightarrow) Suponha |x| = 0. Se x >= 0, então |x| = x = 0, o que dá x=0. Se x < 0, então |x| = -x = 0, o que implica também x=0. Em ambos os casos, chegamos a x=0.
( Leftarrow) Se x=0, basta aplicar a definição: como 0>=0, temos |0| = 0.
Isso completa a prova da bicondicional.

Passo 5

Portanto, reunindo tudo, provamos que para todo inteiro x vale |x| >= 0 e que |x| = 0 se, e somente se, $x = 0.

Resposta

Para todo xin Z, temos |x|>=0 e |x|=0 se, e somente se, x=0.

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