Dizemos que o elemento
de
é inversível para a operação dada acima por
, se existe
tal que
. Neste caso,
chama-se inverso de
(para a operação
). Mostre que, se
é inversível e * é associativa, então seu inverso é único (
se diz associativa se
, quaisquer que sejam os elementos
e
de
).
Passo 1
O enunciado considera um conjunto A com operação associativa * e um elemento neutro n, e define que a ∈ A é inversível se existe b ∈ A tal que a * b = b * a = n. Queremos mostrar que, sob associatividade, esse inverso é único.
Passo 2
Suponha que b e c sejam ambos inversos de a, ou seja, satisfaçam as igualdades a * b = b * a = n e a * c = c * a = n.
Passo 3
Aplicando a propriedade do elemento neutro e a associatividade, obtemos:
Passo 4
Da cadeia acima segue que b = c, isto é, não há dois inversos distintos para a.
Resposta
O inverso de a é único.