Dizemos que o elemento a de A é inversível para a operação dada acima por *, se existe b in A tal que a * b=b * a=n. Neste caso, b chama-se inverso de a (para a operação * ). Mostre que, se a é inversível e * é associativa, então seu inverso é único ( * se diz associativa se (a * b) * c=a *(b * c), quaisquer que sejam os elementos a, b e c de A ).

Passo 1

O enunciado considera um conjunto A com operação associativa * e um elemento neutro n, e define que a ∈ A é inversível se existe b ∈ A tal que a * b = b * a = n. Queremos mostrar que, sob associatividade, esse inverso é único.

Passo 2

Suponha que b e c sejam ambos inversos de a, ou seja, satisfaçam as igualdades a * b = b * a = n e a * c = c * a = n.

Passo 3

Aplicando a propriedade do elemento neutro e a associatividade, obtemos:
b = b * n = b * (a * c) = (b * a) * c = n * c = c

Passo 4

Da cadeia acima segue que b = c, isto é, não há dois inversos distintos para a.

Resposta

O inverso de a é único.

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