Mostre que, para
, apenas uma das situações seguintes ocorre:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados dois inteiros
, sempre ocorre exatamente uma das três situações:
,
ou
. O conteúdo aqui é a propriedade de ordenação total nos inteiros e vamos usar a definição de ordem em
junto com a propriedade de tricotomia.
Passo 2
Precisamos lembrar como definimos
em
: dizemos que
se, e somente se, existe um inteiro positivo
tal que
. Analogamente,
significa que
.
Passo 3
Tomemos a diferença
. Como
também é um inteiro, pela propriedade de tricotomia nos inteiros, só pode acontecer uma destas três situações:
-
. -
. -
.
Passo 4
Em cada caso, traduzimos para a relação entre
e
:
- Se
, então e, portanto, . - Se
, então existe tal que , de modo que . - Se
, então e temos , ou seja, , o que significa .
Passo 5
Como a propriedade de tricotomia em
garante que exatamente um dos três casos ocorre, concluímos que exatamente um entre
,
e
vale.
Resposta
Portanto, para quaisquer
, ocorre exatamente uma entre as afirmações
,
ou
.