Mostre que, para alpha, beta in Z, apenas uma das situações seguintes ocorre:
alpha=beta ou alphabeta

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados dois inteiros alpha,beta, sempre ocorre exatamente uma das três situações: alpha=beta, alpha ou alpha>beta. O conteúdo aqui é a propriedade de ordenação total nos inteiros e vamos usar a definição de ordem em Z junto com a propriedade de tricotomia.

Passo 2

Precisamos lembrar como definimos alpha em Z: dizemos que alpha se, e somente se, existe um inteiro positivo n>0 tal que alpha + n = beta. Analogamente, alpha>beta significa que beta.

Passo 3

Tomemos a diferença d = beta - alpha. Como d também é um inteiro, pela propriedade de tricotomia nos inteiros, só pode acontecer uma destas três situações:
  1. d = 0.
  2. d>0.
  3. d<0.

Passo 4

Em cada caso, traduzimos para a relação entre alpha e beta:
  • Se d=0, então beta-alpha=0 e, portanto, alpha=beta.
  • Se d>0, então existe n=d>0 tal que alpha + n = beta, de modo que alpha.
  • Se d<0, então -d>0 e temos beta + (-d) = alpha, ou seja, beta, o que significa alpha>beta.

Passo 5

Como a propriedade de tricotomia em Z garante que exatamente um dos três casos ocorre, concluímos que exatamente um entre alpha=beta, alpha e alpha>beta vale.

Resposta

Portanto, para quaisquer alpha,betainZ, ocorre exatamente uma entre as afirmações alpha=beta, alpha ou alpha>beta.

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