Igualdade de Clausius. (b) Tomando a expressão para
do item anterior como uma derivada direcional no espaço
, verifique que os coeficientes dos deslocamentos
e
são de fato componentes de um gradiente calculando explicitamente as segundas derivadas cruzadas. Para isso, utilize as equações de estado do gás ideal para
e
. Obs.: com frequência, nos livros de Termodinâmica, você encontrará a nomenclatura potencial termodinâmico para a entropia e outras quantidades.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra mostrar que a expressão diferencial de entropia
é mesmo um gradiente no espaço das variáveis
A matéria envolvida é Termodinâmica: diferencial exata e condição de igualdade das segundas derivadas cruzadas.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Expressar
e como funções de e para um gás ideal. - Calcular
e e comparar.
Passo 2
Primeiro, lembre que para um gás ideal monoatômico vale
Daí extraímos diretamente:
1)
2)
Passo 3
Agora escrevemos os dois “coeficientes” como funções explícitas de
:
Para testar se
Passo 4
Vamos às derivadas cruzadas:
-
, pois não depende de . -
, pois não depende de .
Como as duas derivadas são iguais (
), temos
$$\frac{\partial}{\partial V}\Bigl(\tfrac1T\Bigr)
=\frac{\partial}{\partial U}\Bigl(\tfrac pT\Bigr),. $$
Resposta
A condição de igualdade das segundas derivadas cruzadas está satisfeita (
), logo os coeficientes
e
formam um gradiente. Isso verifica que
é um diferencial exato no espaço
, conforme a igualdade de Clausius.