Igualdade de Clausius. (b) Tomando a expressão para d S do item anterior como uma derivada direcional no espaço U V, verifique que os coeficientes dos deslocamentos d U e d V são de fato componentes de um gradiente calculando explicitamente as segundas derivadas cruzadas. Para isso, utilize as equações de estado do gás ideal para T(U, V) e p(U, V). Obs.: com frequência, nos livros de Termodinâmica, você encontrará a nomenclatura potencial termodinâmico para a entropia e outras quantidades.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar que a expressão diferencial de entropia
dS=1T,dU+pT,dV
é mesmo um gradiente no espaço das variáveis partial Apartial V ;=;partial Bpartial U, e . Ou seja, os “coeficientes”
e satisfazem
A matéria envolvida é Termodinâmica: diferencial exata e condição de igualdade das segundas derivadas cruzadas.
O que vamos precisar:
  1. Expressar e como funções de e para um gás ideal.
  2. Calcular e e comparar.

Passo 2

Primeiro, lembre que para um gás ideal monoatômico vale
U=tfrac32,nR,TLongrightarrow T(U,V)=23,UnR,, pV=nRTLongrightarrow p(U,V)=nR,TV,
Daí extraímos diretamente:
1) .
2) .

Passo 3

Agora escrevemos os dois “coeficientes” como funções explícitas de A(U,V)=1T=3nR2U, B(U,V)= pT=nRV, :
partial Apartial V e partial Bpartial U,
Para testar se é diferencial exata (ou seja, um gradiente), calculamos:

Passo 4

Vamos às derivadas cruzadas:
  1. partialpartial Vl(tfrac1Tr) =partialpartial Ul(tfrac pTr), , pois não depende de .
  2. , pois não depende de .
Como as duas derivadas são iguais ( ), temos
$$\frac{\partial}{\partial V}\Bigl(\tfrac1T\Bigr)
=\frac{\partial}{\partial U}\Bigl(\tfrac pT\Bigr),. $$

Resposta

A condição de igualdade das segundas derivadas cruzadas está satisfeita ( ), logo os coeficientes e formam um gradiente. Isso verifica que é um diferencial exato no espaço , conforme a igualdade de Clausius.

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