Quais elementos em \mathbb{Z}_{9} possuem inverso multiplicativo? Mostre que eles formam um grupo com a operação ⊙.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Quais elementos de \mathbb{Z}_{9} têm inverso multiplicativo (ou seja, quais são invertíveis módulo 9).
  • Mostrar que esses elementos formam um grupo com a operação \odot (multiplicação em \mathbb{Z}_9).
Informações dadas/assumidas:
  • O conjunto é \mathbb{Z}_{9}=\{[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8]\}, onde [a] denota a classe de congruência de a módulo 9.
  • A operação \odot é a multiplicação classe a classe: [a]\odot[b]=[ab] (produto tomado módulo 9).

Passo 2

Definição e critério prático para inverso multiplicativo:
  • Dizemos que [a]\in\mathbb{Z}_9 tem inverso multiplicativo se existe [b]\in\mathbb{Z}_9 tal que
[a]\odot[b]=[1],
isto é,
[ab]=[1]\quad\text{ou}\quad ab\equiv 1\pmod{9}.
  • Um resultado fundamental (que vou demonstrar agora) é: [a] é invertível em \mathbb{Z}_9 se, e somente se, \gcd(a,9)=1. Vou provar as duas implicações porque isso é a chave prática na prova.

Passo 3

Prova da implicação direta: se [a] tem inverso então \gcd(a,9)=1.
  • Suponha que exista b tal que ab\equiv 1\pmod{9}. Então existem inteiros k com
ab-9k=1.
  • Qualquer divisor comum d de a e 9 divide ab e também divide 9k, logo divide ab-9k=1. Então d divide 1, o que força d=1. Portanto \gcd(a,9)=1.

Passo 4

Prova da implicação recíproca: se \gcd(a,9)=1 então [a] tem inverso (existência do inverso).
  • Pelo lema de Bézout, se \gcd(a,9)=1 existem inteiros x,y tais que
ax+9y=1.
  • Reduzindo módulo 9 obtemos ax\equiv 1\pmod{9}. Assim a classe [x] é o inverso multiplicativo de [a] em \mathbb{Z}_9.
  • Conclusão: [a] é invertível em \mathbb{Z}_9 se, e somente se, \gcd(a,9)=1.

Passo 5

Aplicação prática ao caso n=9: encontrar todos os a\in\{0,1,\dots,8\} com \gcd(a,9)=1.
  • Calcular \gcd de cada elemento com 9:
    • \gcd(0,9)=9 não é 1.
    • \gcd(1,9)=1.
    • \gcd(2,9)=1.
    • \gcd(3,9)=3 não é 1.
    • \gcd(4,9)=1.
    • \gcd(5,9)=1.
    • \gcd(6,9)=3 não é 1.
    • \gcd(7,9)=1.
    • \gcd(8,9)=1.
  • Portanto os candidatos invertíveis são as classes [1],[2],[4],[5],[7],[8].

Passo 6

Encontrar explicitamente os inversos dessas classes (verificação concreta, útil na prova):
  • [1]: 1\cdot1=1\Rightarrow inverso de [1] é [1].
  • [2]: 2\cdot5=10\equiv 1\pmod{9}\Rightarrow inverso de [2] é [5].
  • [4]: 4\cdot7=28\equiv 1\pmod{9} porque 28-27=1\Rightarrow inverso de [4] é [7].
  • [5]: já vimos 5\cdot2\equiv1\Rightarrow inverso de [5] é [2].
  • [7]: já vimos 7\cdot4\equiv1\Rightarrow inverso de [7] é [4].
  • [8]: 8\cdot8=64\equiv 1\pmod{9} porque 64-63=1\Rightarrow inverso de [8] é [8].
  • Essas verificações mostram concretamente que cada um dos seis elementos listados tem inverso em \mathbb{Z}_9.

Passo 7

Definição do conjunto dos invertíveis e observação sobre sua ordem:
  • Denotar
U(9)=\{[a]\in\mathbb{Z}_9:\gcd(a,9)=1\}=\{[1],[2],[4],[5],[7],[8]\}.
  • O número de elementos é |U(9)|=\varphi(9)=6 (onde \varphi é a função totiente de Euler). (Só uma observação útil; não essencial para provar que é grupo.)

Passo 8

Provar que U(9) é um grupo sob \odot: verificar os axiomas de grupo (fecho, associatividade, elemento neutro e existência de inversos).
  • Associatividade:
    • A operação \odot é herdada da multiplicação dos inteiros seguida de redução módulo 9. Como a multiplicação inteira é associativa, a operação \odot também é associativa. Portanto, para quaisquer [a],[b],[c]\in U(9),
    ([a]\odot[b])\odot[c]=[a]\odot([b]\odot[c]).
  • Elemento neutro:
    • [1] é identidade porque [1]\odot[a]=[a]\odot[1]=[a] para todo [a]\in\mathbb{Z}_9, em particular para [a]\in U(9).
  • Existência de inversos:
    • Por construção de U(9), cada [a]\in U(9) satisfaz \gcd(a,9)=1, logo pelo Passo 4 existe [b] com [a]\odot[b]=[1]. No Passo 6 mostramos os inversos explícitos para cada elemento de U(9).
  • Fechamento (produto de dois invertíveis é invertível):
    • Se [a],[b]\in U(9) então \gcd(a,9)=\gcd(b,9)=1. Qualquer divisor comum de ab e 9 divide 9 e divide ab; mas como a e b não têm fator comum com 9, nenhum primo divisor de 9 (ou seja, 3) divide ab. Portanto \gcd(ab,9)=1, isto é, [a]\odot[b]=[ab]\in U(9). Assim U(9) é fechado sob \odot.

Passo 9

Conclusão sobre estrutura do grupo:
  • Todos os axiomas de grupo estão verificados: associatividade, existência de identidade [1], existência de inversos para cada elemento e fechamento.
  • Adicionalmente, a multiplicação em \mathbb{Z}_9 é comutativa, então U(9) é um grupo abeliano.

Resposta

Os elementos invertíveis em \mathbb{Z}_{9} são [1],[2],[4],[5],[7],[8].
Esses elementos formam um grupo abeliano U(9)=\{[1],[2],[4],[5],[7],[8]\} sob a operação \odot (multiplicação módulo 9).

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