Quais elementos em
possuem inverso multiplicativo? Mostre que eles formam um grupo com a operação ⊙.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Quais elementos de
têm inverso multiplicativo (ou seja, quais são invertíveis módulo ). - Mostrar que esses elementos formam um grupo com a operação
(multiplicação em ).
Informações dadas/assumidas:
- O conjunto é
, onde denota a classe de congruência de módulo . - A operação
é a multiplicação classe a classe: (produto tomado módulo ).
Passo 2
Definição e critério prático para inverso multiplicativo:
- Dizemos que
tem inverso multiplicativo se existe tal que
isto é,
- Um resultado fundamental (que vou demonstrar agora) é:
é invertível em se, e somente se, . Vou provar as duas implicações porque isso é a chave prática na prova.
Passo 3
Prova da implicação direta: se
tem inverso então
.
- Suponha que exista
tal que . Então existem inteiros com
- Qualquer divisor comum
de e divide e também divide , logo divide . Então divide , o que força . Portanto .
Passo 4
Prova da implicação recíproca: se
então
tem inverso (existência do inverso).
- Pelo lema de Bézout, se
existem inteiros tais que
- Reduzindo módulo
obtemos . Assim a classe é o inverso multiplicativo de em . - Conclusão:
é invertível em se, e somente se, .
Passo 5
Aplicação prática ao caso
: encontrar todos os
com
.
- Calcular
de cada elemento com : -
não é . -
. -
. -
não é . -
. -
. -
não é . -
. -
.
-
- Portanto os candidatos invertíveis são as classes
.
Passo 6
Encontrar explicitamente os inversos dessas classes (verificação concreta, útil na prova):
-
: inverso de é . -
: inverso de é . -
: porque inverso de é . -
: já vimos inverso de é . -
: já vimos inverso de é . -
: porque inverso de é . - Essas verificações mostram concretamente que cada um dos seis elementos listados tem inverso em
.
Passo 7
Definição do conjunto dos invertíveis e observação sobre sua ordem:
- Denotar
- O número de elementos é
(onde é a função totiente de Euler). (Só uma observação útil; não essencial para provar que é grupo.)
Passo 8
Provar que
é um grupo sob
: verificar os axiomas de grupo (fecho, associatividade, elemento neutro e existência de inversos).
- Associatividade:
- A operação
é herdada da multiplicação dos inteiros seguida de redução módulo . Como a multiplicação inteira é associativa, a operação também é associativa. Portanto, para quaisquer ,
- A operação
- Elemento neutro:
-
é identidade porque para todo , em particular para .
-
- Existência de inversos:
- Por construção de
, cada satisfaz , logo pelo Passo 4 existe com . No Passo 6 mostramos os inversos explícitos para cada elemento de .
- Por construção de
- Fechamento (produto de dois invertíveis é invertível):
- Se
então . Qualquer divisor comum de e divide e divide ; mas como e não têm fator comum com , nenhum primo divisor de (ou seja, ) divide . Portanto , isto é, . Assim é fechado sob .
- Se
Passo 9
Conclusão sobre estrutura do grupo:
- Todos os axiomas de grupo estão verificados: associatividade, existência de identidade
, existência de inversos para cada elemento e fechamento. - Adicionalmente, a multiplicação em
é comutativa, então é um grupo abeliano.
Resposta
Os elementos invertíveis em
são
.
Esses elementos formam um grupo abeliano sob a operação
(multiplicação módulo
).
Esses elementos formam um grupo abeliano