A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante 2\operatorname{sec}\!\left(\dfrac{t}{2}\right).
O intervalo (- \pi,\pi) garante que \cos\!\left(\dfrac{t}{2}\right) é estritamente positivo (porque \dfrac{t}{2}\in(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})), então não há problemas de sinal no logaritmo que vamos encontrar.
O que se pede é apenas uma solução particular y_p(t) (não a solução geral).
Passo 2
Começo resolvendo a equação homogênea associada para ter as soluções fundamentais (necessárias para o método que vou usar).
A homogênea é
4y^{\prime\prime}+y=0.
Dividindo por 4 (para ficar na forma padrão) obtém-se
y^{\prime\prime}+\frac{1}{4}y=0.
A equação característica é r^{2}+\dfrac{1}{4}=0, cujas raízes são r=\pm \dfrac{i}{2}. Quando as raízes são imaginárias conjugas \pm i\omega a solução geral homogênea é combinação linear de \cos(\omega t) e \sin(\omega t). Aqui \omega=\dfrac{1}{2}, logo as duas soluções fundamentais são
Explicando rápido: y_1 e y_2 são chamadas soluções fundamentais porque são linearmente independentes e geram toda solução da homogênea por combinação linear.
Passo 3
Vou usar o método de variação de parâmetros (é um método padrão para obter uma solução particular quando o lado direito não é polinomial/exponencial/trigonométrica “simples” que se trata com coeficientes não constantes).
Passos essenciais do método:
Colocar a EDO na forma padrão y''+p(t)y'+q(t)y=g(t). Aqui, dividindo por 4,
Depois integra-se u_1',u_2' para obter u_1,u_2 (constantes de integração podem ser tomadas zero, porque estamos apenas construindo uma solução particular) e monta-se
y_p(t)=u_1(t)y_1(t)+u_2(t)y_2(t).
Aqui g(t)=\dfrac{1}{2}\operatorname{sec}\!\left(\dfrac{t}{2}\right). Vou calcular o wronskiano e as derivadas necessárias.
Passo 4
Calculo das derivadas de y_1,y_2 e do wronskiano W.
Pequena explicação: chegamos a expressões simples e fáceis de integrar — meta do método é justamente transformar o problema numa integração de funções conhecidas.
Passo 6
Agora integro u_1' e u_2'.
Para u_2:
u_2(t)=\int 1\,dt = t + C_2.
Para construir uma solução particular posso escolher C_2=0, então tomo u_2(t)=t.
Para u_1:
u_1(t)=\int -\tan\!\left(\frac{t}{2}\right)\,dt.
Faço a substituição u=\dfrac{t}{2}\Rightarrow dt=2\,du. Então
\int \tan\!\left(\frac{t}{2}\right)\,dt = 2\int \tan u\,du = -2\ln\big|\cos u\big| + C = -2\ln\Big|\cos\!\left(\frac{t}{2}\right)\Big| + C.
Observação: no intervalo dado (- \pi,\pi) tem-se \cos\!\left(\tfrac{t}{2}\right)>0, então \ln|\cos(\tfrac{t}{2})|=\ln\cos(\tfrac{t}{2}). Posso, portanto, eliminar as barras de valor absoluto se quiser.
Passo 7
Finalmente monto a solução particular pela fórmula
Breve comentário de verificação: o método de variação de parâmetros garante que essa y_p satisfaz a equação padrão y''+\tfrac{1}{4}y=\tfrac{1}{2}\operatorname{sec}(\tfrac{t}{2}); multiplicando por 4 recupera-se a equação original.