O que os elementos da matriz L e da matriz U representam no método de decomposição LU?
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar o que representam os elementos da matriz L e da matriz U no método de decomposição LU.
Informações dadas: nenhuma matriz específica — a pergunta é conceitual e pede interpretação dos elementos de L e U.
Passo 2
Definição curta e convensão que vou usar: a decomposição LU (na forma clássica sem permutações) escreve uma matriz quadrada A como
A = LU,
onde L é uma matriz triangular inferior e U é triangular superior. Na convenção Doolittle, que vou usar aqui, L tem diagonal formada por 1s (ou seja, L_{ii}=1 para todo i) e U tem os pivôs na diagonal. Essa é uma convenção comum e facilita a interpretação dos elementos.
Passo 3
O que são os elementos de U (intuição e fórmula):
A matriz U contém os coeficientes que aparecem depois de aplicar as operações de eliminação de Gauss em A. Em particular os elementos \,U_{ij} com i\le j são os coeficientes da forma reduzida (após eliminar abaixo da diagonal) — os pivôs ficam em \,U_{11},U_{22},\dots na diagonal.
Formalmente, se durante a eliminação, após eliminar as colunas anteriores, a linha i passa a ter coeficientes u_{i1},u_{i2},\dots, esses coeficientes entram em U. Em outras palavras, U é a forma superior-triangular que resulta da eliminação de Gauss aplicada a A.
Exemplo de uso de U: para resolver Ax=b com A=LU, depois de obter U faz-se substituição regressiva em U para encontrar x.
Passo 4
O que são os elementos de L (intuição e fórmula):
Os elementos de L (mais precisamente os elementos abaixo da diagonal, \,L_{ij} para i>j) são os multiplicadores usados nas operações elementares de linha durante a eliminação de Gauss. Quando se elimina a entrada na linha i usando a linha k< i (com pivô u_{kk}), o multiplicador é
m_{ik}=\frac{\text{entrada atual na posição }(i,k)}{\text{pivô }u_{kk}}.
Na convenção Doolittle esses multiplicadores ficam armazenados como \,L_{ik}=m_{ik}. A diagonal de L é 1 porque não se multiplica a própria linha por nada para deixá-la como pivô.
Em resumo: cada \,L_{ik} diz "quanto da linha k foi subtraído da linha i" para zerar a coluna k abaixo do pivô.
Passo 5
Mostrando na prática com um exemplo pequeno (passo a passo):
Considere
Verifique: L U = A. Aqui fica claro: os elementos não-diagonais de L são exatamente os fatores usados para cancelar entradas de A; os elementos de U são os valores resultantes depois dessas eliminações (incluindo os pivôs).]
Passo 6
Consequências úteis e observações práticas:
Determinante: se não foi preciso permutar linhas, \det(A)=\prod_{i} U_{ii} (produto dos pivôs), porque \det(L)=1 na convenção Doolittle.
Resolução de sistemas: com A=LU resolve-se Ax=b por duas etapas: resolver Ly=b (substituição direta, usando os L_{ij}) e depois Ux=y (substituição regressiva, usando os U_{ij}). Os valores de L tornam a fase de eliminação reutilizável para vários vetores b.
Pivotamento: se for necessário trocar linhas por estabilidade numérica, escreve-se PA=LU com uma matriz de permutação P; os elementos de L continuam sendo os multiplicadores usados após as permutações, e U continua a ser a forma superior resultante.
Resposta
Os elementos abaixo da diagonal de L (L_{ij} para i>j) são os multiplicadores (os fatores m_{ij}) usados nas operações de eliminação de Gauss para zerar as entradas de A abaixo dos pivôs; a diagonal de L é 1 na convenção Doolittle.
Os elementos de U (U_{ij} para i\le j) são os coeficientes que restam depois da eliminação — ou seja, os pivôs (na diagonal) e os coeficientes acima da diagonal da forma triangular superior obtida a partir de A.