O que os elementos da matriz L e da matriz U representam no método de decomposição LU?

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar o que representam os elementos da matriz L e da matriz U no método de decomposição LU.
Informações dadas: nenhuma matriz específica — a pergunta é conceitual e pede interpretação dos elementos de L e U.

Passo 2

Definição curta e convensão que vou usar: a decomposição LU (na forma clássica sem permutações) escreve uma matriz quadrada A como
A = LU,
onde L é uma matriz triangular inferior e U é triangular superior. Na convenção Doolittle, que vou usar aqui, L tem diagonal formada por 1s (ou seja, L_{ii}=1 para todo i) e U tem os pivôs na diagonal. Essa é uma convenção comum e facilita a interpretação dos elementos.

Passo 3

O que são os elementos de U (intuição e fórmula):
  • A matriz U contém os coeficientes que aparecem depois de aplicar as operações de eliminação de Gauss em A. Em particular os elementos \,U_{ij} com i\le j são os coeficientes da forma reduzida (após eliminar abaixo da diagonal) — os pivôs ficam em \,U_{11},U_{22},\dots na diagonal.
  • Formalmente, se durante a eliminação, após eliminar as colunas anteriores, a linha i passa a ter coeficientes u_{i1},u_{i2},\dots, esses coeficientes entram em U. Em outras palavras, U é a forma superior-triangular que resulta da eliminação de Gauss aplicada a A.
Exemplo de uso de U: para resolver Ax=b com A=LU, depois de obter U faz-se substituição regressiva em U para encontrar x.

Passo 4

O que são os elementos de L (intuição e fórmula):
  • Os elementos de L (mais precisamente os elementos abaixo da diagonal, \,L_{ij} para i>j) são os multiplicadores usados nas operações elementares de linha durante a eliminação de Gauss. Quando se elimina a entrada na linha i usando a linha k< i (com pivô u_{kk}), o multiplicador é
m_{ik}=\frac{\text{entrada atual na posição }(i,k)}{\text{pivô }u_{kk}}.çãô
Na convenção Doolittle esses multiplicadores ficam armazenados como \,L_{ik}=m_{ik}. A diagonal de L é 1 porque não se multiplica a própria linha por nada para deixá-la como pivô.
  • Em resumo: cada \,L_{ik} diz "quanto da linha k foi subtraído da linha i" para zerar a coluna k abaixo do pivô.

Passo 5

Mostrando na prática com um exemplo pequeno (passo a passo):
Considere
A=\begin{pmatrix}2 & 3 & 1\\[4pt]4 & 7 & 3\\[4pt]-2 & 4 & 5\end{pmatrix}.
  1. Primeiro pivô u_{11}=2. Para zerar abaixo usamos multiplicadores
L_{21}=m_{21}=\frac{4}{2}=2,\qquad L_{31}=m_{31}=\frac{-2}{2}=-1.
Aplicando as operações:
\text{linha}_2\leftarrow\text{linha}_2-2\cdot\text{linha}_1 \Rightarrow (0,1,1),
\text{linha}_3\leftarrow\text{linha}_3-(-1)\cdot\text{linha}_1 \Rightarrow (0,7,6).
  1. Segundo pivô u_{22}=1. Para zerar abaixo:
L_{32}=m_{32}=\frac{7}{1}=7.
Aplicando:
\text{linha}_3\leftarrow\text{linha}_3-7\cdot\text{linha}_2 \Rightarrow (0,0,-1).
Agora a parte superior-triangular obtida é
U=\begin{pmatrix}2 & 3 & 1\\[4pt]0 & 1 & 1\\[4pt]0 & 0 & -1\end{pmatrix},
e os multiplicadores colocados em L (com diagonal de 1) formam
L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]2 & 1 & 0\\[4pt]-1 & 7 & 1\end{pmatrix}.
Verifique: L U = A. Aqui fica claro: os elementos não-diagonais de L são exatamente os fatores usados para cancelar entradas de A; os elementos de U são os valores resultantes depois dessas eliminações (incluindo os pivôs).]

Passo 6

Consequências úteis e observações práticas:
  • Determinante: se não foi preciso permutar linhas, \det(A)=\prod_{i} U_{ii} (produto dos pivôs), porque \det(L)=1 na convenção Doolittle.
  • Resolução de sistemas: com A=LU resolve-se Ax=b por duas etapas: resolver Ly=b (substituição direta, usando os L_{ij}) e depois Ux=y (substituição regressiva, usando os U_{ij}). Os valores de L tornam a fase de eliminação reutilizável para vários vetores b.
  • Pivotamento: se for necessário trocar linhas por estabilidade numérica, escreve-se PA=LU com uma matriz de permutação P; os elementos de L continuam sendo os multiplicadores usados após as permutações, e U continua a ser a forma superior resultante.

Resposta

Os elementos abaixo da diagonal de L ( L_{ij} para i>j) são os multiplicadores (os fatores m_{ij}) usados nas operações de eliminação de Gauss para zerar as entradas de A abaixo dos pivôs; a diagonal de L é 1 na convenção Doolittle.
Os elementos de U ( U_{ij} para i\le j) são os coeficientes que restam depois da eliminação — ou seja, os pivôs (na diagonal) e os coeficientes acima da diagonal da forma triangular superior obtida a partir de A.

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