Para os seguintes sistemas lineares:
a. Verifique se a matriz dos coeficientes satisfaz o teorema da decomposição LU.
b. Realize a decomposição LU através do método de Gauss com pivoteamento.
c. Ache as soluções para os sistemas a partir das matrizes L e U.
d. Calcule o vetor resíduo para as soluções encontradas.
As perguntas a responder (para cada sistema):
a. Verificar se a matriz dos coeficientes satisfaz o teorema da decomposição LU (isto é, se existe decomposição A=LU sem permutações).
b. Realizar a decomposição LU através do método de Gauss com pivoteamento (se necessário, apresentar a matriz de permutação P e escrever PA=LU).
c. Achar as soluções usando as matrizes L e U.
d. Calcular o vetor resíduo r=b-Ax para as soluções encontradas.]
Passo 2
Verificação se existe decomposição A=LU sem permutações (condição dos menores principais).
Explicação rápida do critério que vou usar:
Uma condição suficiente (e prática) para garantir que exista uma decomposição A=LU sem permutações (i.e., sem pivoteamento) é que todos os menores principais (determinantes das submatrizes (1\times1),(2\times2),\dots) sejam não nulos. Vou calcular esses menores principais.
Menores principais de A:
Primeiro menor principal (elemento a_{11}):
\det\big(\,(6)\,\big)=6\neq0.
Segundo menor principal (submatriz 2\times2 no canto superior esquerdo):
Conclusão deste passo: todos os menores principais são não nulos, portanto a condição suficiente está satisfeita e existe decomposição A=LU sem permutações. Em termos do pivoteamento parcial, não há necessidade de trocar linhas, logo a matriz de permutação P será a identidade.]
Passo 3
Decomposição LU pelo método de Gauss (mostrando os passos de eliminação e construindo L e U).
Explicação didática do método:
Executa-se eliminação de Gauss em A para obter uma matriz triangular superior U.
Os multiplicadores usados para zerar abaixo dos pivôs formam a matriz L (com diagonal de uns).
Como na verificação anterior não foi preciso trocar linhas, teremos P=I e A=LU.
Vou fazer a eliminação passo a passo (uso convenção de Doolittle: L com diagonal unitária).
Observação: pode verificar fazendo multiplicação L\cdot U para confirmar que volta A.]
Passo 4
Resolver os sistemas usando [L) e U: método direto (substituição para frente e para trás). Vou resolver os dois sistemas separadamente, mas ambos usam o mesmo L e U.
Esquema geral:
Resolver L y = b por substituição progressiva (forward substitution).
Resolver U x = y por substituição regressiva (back substitution).
Sistema 1: b^{(1)}=\begin{pmatrix}23\\[4pt]1\\[4pt]-5\end{pmatrix}.
Cálculo dos vetores resíduo r=b-Ax para cada solução encontrada (verificação final).
Explicação: o resíduo mede o quanto a solução encontrada satisfaz exatamente o sistema; para solução exata do sistema linear com aritmética exata, o resíduo deve ser o vetor nulo.
a. A matriz A satisfaz o critério (todos os menores principais são não nulos), logo existe decomposição A=LU sem permutações.
b. Decomposição obtida (sem pivoteamento efetivo, P=I):