Um circuito R L C em paralelo é construído usando componentes cujo os valores são R=1 \Omega, C=3 \mathrm{~F}, e L=1 / 3 \mathrm{H}. Determine os valores dos componentes necessários se a rede tiver
uma frequência de ressonância de 750 kHz e um módulo de impedância em ressonância de 25 \Omega.

Passo 1

O enunciado pede um circuito paralelo de três componentes com frequência de ressonância f_0=750\text{ kHz} e módulo de impedância em ressonância Z_{\rm res}=25\\ \Omega. O conteúdo aqui é ressonância em paralelo:
  • Condição de ressonância: \omega_0 = 1/\sqrt{LC}.
  • Impedância em ressonância de um paralelo puro: Z_{\rm res}=R.

Passo 2

Da condição de ressonância temos
\omega_0 = 2\pi f_0
e
\omega_0^2 = \frac1{L\,C}\,\Longrightarrow\,L\,C = \frac1{\omega_0^2}\,.

Passo 3

Como em paralelo puro, no ponto de ressonância a reatância líquida é nula e a impedância total é puramente resistiva, vale
Z_{\rm res} = R
logo
R = 25\\ \Omega.

Passo 4

Para fixar valores únicos de L e C usamos o protótipo dado ( R_0=1\\ \Omega, L_0=\tfrac13\\ \mathrm H, C_0=3\\ \mathrm F) que ressoa a \omega_n=1\\ \mathrm{rad/s}. Aplicamos dois fatores de escala:
  • escala de frequência k_f = \omega_0/\omega_n = \omega_0,
  • escala de impedância k_z = Z_{\rm res}/R_0 = 25.
As fórmulas de escala para um paralelo são
L' = L_0\,\frac{k_z}{k_f}, \quad C' = C_0\,\frac{k_f}{k_z}, \quad R' = R_0\,k_z.

Passo 5

Primeiro calculemos \omega_0:
\omega_0 = 2\pi \times 750\times10^3 \approx 4{,}712\times10^6\\ \mathrm{rad/s}.
Agora as componentes:
L' = \frac{1/3\cdot25}{4{,}712\times10^6} \approx 1{,}77\times10^{-6}\\ \mathrm H,
C' = \frac{3\cdot4{,}712\times10^6}{25} \approx 5{,}65\times10^5\\ \mathrm F,
R' = 25\\ \Omega.

Resposta

R=25\\ \Omega,\quad L\approx1{,}77\\ \mu\mathrm H,\quad C\approx5{,}65\times10^5\\ \mathrm F.

Exercícios de Livros Relacionados