Um diodo varicap é um dispositivo semicondutor cuja reatância pode ser variada com a aplicação de uma tensão de polarização. O fator de qualidade pode ser expresso
Q \approx \frac{\omega C_{J} R_{P}}{1+\omega^{2} C_{J}^{2} R_{P} R_{S}}
onde C_{J} é a capacitância de junção (que depende da tensão aplicada no dispositivo), R_{S} é a resistência série do dispositivo e R_{P} é um termo referente à resistência em paralelo. (a) Se C_{J}=3,77 \mathrm{pF} em 1,5 \mathrm{~V}, R_{P}=1,5 \mathrm{M} \Omega e R_{S}=2,8 \Omega, faça um gráfico apresentando o fator de qualidade em função da frequência \omega. (d) Derive a expressão que descreve Q_{0} para obter \omega_{0} e Q_{\text {máx }}á.

Passo 1

O enunciado trata do fator de qualidade de um diodo varicap, dado por
Q(\omega)\approx \frac{\omega\,C_{J}\,R_{P}}{1+\omega^{2}C_{J}^{2}R_{P}R_{S}}
onde \omega é a frequência angular, C_{J} a capacitância de junção, R_{P} a resistência em paralelo e R_{S} a resistência série. Na parte (a) precisamos traçar o gráfico de Q versus \omega usando os valores \,C_{J}=3{,}77\text{ pF}, R_{P}=1{,}5\text{ M}\Omega, R_{S}=2{,}8\:\Omega. Na parte (d) devemos derivar essa expressão de Q(\omega) para encontrar a frequência \omega_{0} que maximiza Q e o valor máximo Q_{\max}.

Passo 2

Substituindo os valores numéricos em Q(\omega):
C_{J}=3{,}77\times10^{-12}\,\mathrm{F},\quad R_{P}=1{,}5\times10^{6}\,\Omega,\quad R_{S}=2{,}8\,\Omega
definimos
a = C_{J}R_{P}=3{,}77\times10^{-12}\times1{,}5\times10^{6} =5{,}655\times10^{-6},
b = C_{J}^{2}R_{P}R_{S}=(3{,}77\times10^{-12})^{2}\times1{,}5\times10^{6}\times2{,}8 \approx5{,}97\times10^{-17}.
Logo
Q(\omega)=\frac{5{,}655\times10^{-6}\,\omega}{1+5{,}97\times10^{-17}\,\omega^{2}}.

Passo 3

Para traçar o gráfico de Q(\omega) basta que você use um software (Matlab, Python, Excel etc.) e faça:
\omega \mapsto Q(\omega)=\frac{5{,}655\times10^{-6}\,\omega}{1+5{,}97\times10^{-17}\,\omega^{2}},
variando \omega de, digamos, 10^{5} até 10^{10}, \mathrm{rad/s}.
O comportamento típico é:
1. Em baixas \omega, Q\approx a\,\omega cresce quase linear.
2. Em altas \omega, Q\approx \frac{a}{b}\,\frac{1}{\omega} decai como 1/\omega.
3. Há um pico em \omega_{0}, que veremos no passo seguinte.

Passo 4

Para achar o máximo de Q(\omega) derivamos e igualamos a zero:
\frac{dQ}{d\omega} =\frac{a(1+b\omega^{2})-a\,\omega\,(2b\omega)}{(1+b\omega^{2})^{2}} =0 \quad\Longrightarrow\quad 1 - b\,\omega^{2}=0.
Dessa igualdade segue
\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{b}} =\frac{1}{C_{J}\sqrt{R_{P}R_{S}}}.
Substituindo b\approx5{,}97\times10^{-17}
\omega_{0}\approx1{,}29\times10^{8}\,\mathrm{rad/s}
(o que equivale a f_{0}=\omega_{0}/2\pi\approx2{,}05\times10^{7}\,\mathrm{Hz}).
O valor máximo de Q é
Q_{\max}=Q(\omega_{0}) =\frac{a\,\omega_{0}}{1+b\,\omega_{0}^{2}} =\frac{a}{2\sqrt{b}} =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{R_{P}}{R_{S}}}
que numericamente vale
\tfrac{1}{2}\sqrt{\tfrac{1{,}5\times10^{6}}{2{,}8}}\approx365{,}9.

Resposta

Parte (a): gráfico de
Q(\omega)=\frac{5{,}655\times10^{-6}\,\omega}{1+5{,}97\times10^{-17}\,\omega^{2}}
mostra crescimento linear em baixas \omega, pico em \omega_{0}\approx1{,}29\times10^{8}\,\mathrm{rad/s} e decaimento em altas frequências.
Parte (d):
\omega_{0}=\frac{1}{C_{J}\sqrt{R_{P}R_{S}}}, \qquad Q_{\max}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{R_{P}}{R_{S}}}.

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