Se a frequência de operação for de 40 \mathrm{rad} / \mathrm{s} ou 80 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, encontre um equivalente paralelo da combinação em série de um resistor de 2 \Omega e
um capacitor de 100 mF ;

Passo 1

O enunciado pede o equivalente paralelo de um resistor de 2\:\Omega em série com um capacitor de 100\:\mathrm{mF} quando a frequência angular vale \omega=40\:\mathrm{rad/s} ou \omega=80\:\mathrm{rad/s}. O conteúdo que a gente vai usar é o de impedância complexa, conversão série-para-paralelo via admitância Y=1/Z e depois separar parte real (condutância) e imaginária (susceptância) para obter R_p e C_p.

Passo 2

Escrevendo a impedância em série
Z_s \;=\; R \;+\;\frac{1}{j\,\omega\,C}
onde R=2\:\Omega e C=100\:\mathrm{mF}=0,1\:\mathrm{F}. Como
\frac{1}{j\,\omega\,C} \;=\; -\,j\,\frac{1}{\omega\,C}
temos
Z_s \;=\; 2 \;-\; j\,\frac{1}{\omega\,C} \;=\;2 \;-\; j\,\frac{1}{\omega\cdot0,1} \;=\;2 \;-\; j\,\frac{10}{\omega}.

Passo 3

Agora encontramos a admitância equivalente
Y_p \;=\;\frac{1}{Z_s} \;=\;\frac{1}{2 - j\,(10/\omega)} \;=\;\frac{2 + j\,(10/\omega)}{2^2 + (10/\omega)^2} \;=\;G + j\,B.
Logo
G = \frac{2}{4 + (10/\omega)^2}, \quad B = \frac{10/\omega}{4 + (10/\omega)^2}.

Passo 4

Numa associação paralelo temos
G = \frac{1}{R_p}, \quad B = \omega\,C_p.
Portanto
R_p = \frac{1}{G} \;=\;\frac{4 + (10/\omega)^2}{2}, \qquad C_p = \frac{B}{\omega} \;=\;\frac{10/\omega}{\omega\,\bigl[\,4 + (10/\omega)^2\bigr]} \;=\;\frac{10}{4\,\omega^2 + 100}.

Passo 5

Para \omega=40\:\mathrm{rad/s}:
4\,\omega^2 = 4\cdot40^2 = 4\cdot1600 = 6400, \quad 4\,\omega^2+100 = 6500.
Então
R_p = \frac{6500}{2\cdot1600} = \frac{6500}{3200} \approx 2{,}03125\:\Omega, \quad C_p = \frac{10}{6500} \approx 0{,}001538\:\mathrm{F} = 1{,}538\:\mathrm{mF}.

Passo 6

Para \omega=80\:\mathrm{rad/s}:
4\,\omega^2 = 4\cdot80^2 = 4\cdot6400 = 25600, \quad 4\,\omega^2+100 = 25700.
Então
R_p = \frac{25700}{2\cdot6400} = \frac{25700}{12800} \approx 2{,}0078\:\Omega, \quad C_p = \frac{10}{25700} \approx 0{,}000389\:\mathrm{F} = 0{,}389\:\mathrm{mF}.

Resposta

Para \omega=40\:\mathrm{rad/s}:
R_p \approx 2{,}0313\:\Omega,\quad C_p \approx 1{,}538\:\mathrm{mF}.
Para \omega=80\:\mathrm{rad/s}:
R_p \approx 2{,}0078\:\Omega,\quad C_p \approx 0{,}389\:\mathrm{mF}.

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