Um determinado circuito R L C paralelo é construído usando valores de componentes L=50 \mathrm{mH} e C=33 \mathrm{mF}. Se Q_{0}=10, determine o valor de R, e esboce o módulo da impedância em regime permanente no intervalo de 2<\omega<40 \mathrm{rad} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito RLC em paralelo com indutância L=50\text{ mH}, capacitância C=33\text{ mF} e fator de qualidade em ressonância Q_{0}=10.
Conteúdo: definimos a frequência de ressonância \omega_{0}, usamos a definição de fator de qualidade de circuito paralelo
Q_{0}=R\sqrt{\frac{C}{L}}
para encontrar R, e escrevemos a expressão de módulo de impedância
Z(\omega)=\frac{1}{\sqrt{\bigl(\tfrac{1}{R}\bigr)^{2}+\bigl(\omega C-\tfrac{1}{\omega L}\bigr)^{2}}}
para esboçar \lvert Z(\omega)\rvert no intervalo 2<\omega<40, \mathrm{rad/s}.

Passo 2

Calculamos a frequência angular de ressonância \omega_{0} do circuito paralelo:
\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{L\,C}} =\frac{1}{\sqrt{(50\times10^{-3})(33\times10^{-3})}} \approx 24{,}6\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Usamos a definição de fator de qualidade para circuito RLC paralelo:
Q_{0}=R\sqrt{\frac{C}{L}} \quad\Longrightarrow\quad R = Q_{0}\,\sqrt{\frac{L}{C}}.
Substituindo Q_{0}=10, L=50\times10^{-3}\,\mathrm{H} e C=33\times10^{-3}\,\mathrm{F}:
R = 10 \,\sqrt{\frac{50\times10^{-3}}{33\times10^{-3}}} \approx 10 \times 1{,}231 = 12{,}31\\ \Omega.

Passo 4

A impedância do paralelo é dada por
Z(\omega) =\frac{1}{\,Y(\omega)\,} \quad\text{com}\quad Y(\omega)=\frac{1}{R}+j\Bigl(\omega C-\frac{1}{\omega L}\Bigr).
Logo o módulo é
\lvert Z(\omega)\rvert =\frac{1}{\sqrt{\bigl(\tfrac{1}{R}\bigr)^{2} +\Bigl(\omega C-\tfrac{1}{\omega L}\Bigr)^{2}}}\,.
Em \omega=\omega_{0} anula-se a parte imaginária de Y, de modo que
\lvert Z(\omega_{0})\rvert=R. Para \omega\ll\omega_{0} ou \omega\gg\omega_{0}, \lvert Z\rvert cai próximo de zero.

Passo 5

Esboço qualitativo de \lvert Z(\omega)\rvert para 2<\omega<40, \mathrm{rad/s}:
– Em \omega=2 a reatância do indutor é pequena e do capacitor é grande, o ramo indutivo domina e \lvert Z\rvert\approx0.
– Ao aproximar de \omega_{0}\approx24{,}6, cancelam-se as reatâncias e \lvert Z\rvert atinge o pico máximo igual a R=12{,}3\\ \Omega.
– Para \omega acima de \omega_{0}, o ramo capacitivo domina e \lvert Z\rvert decai novamente até valores próximos de zero em \omega=40.

Resposta

R \approx 12,3\Omega
Esboço de \lvert Z(\omega)\rvert: curva em “campânula” paralela, partindo de zero em \omega=2, subindo até 12{,}3\,\Omega em \omega\approx24{,}6, e decaindo de volta para valores próximos de zero em \omega=40.

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