Se a frequência de operação for de 40 \mathrm{rad} / \mathrm{s} ou 80 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, encontre um equivalente paralelo da combinação em série de um resistor de 2 \Omega e
um indutor de 3 mH .

Passo 1

O enunciado pede a conversão de uma associação série de um resistor de 2\,\Omega e um indutor de 3\,\mathrm{mH} em um equivalente paralelo nas frequências \omega=40\:\mathrm{rad/s} e \omega=80\:\mathrm{rad/s}. O que vamos precisar é da impedância série
Z_s=R+jX,\quad X=\omega L
e da relação entre impedância série e paralelo via admitância.

Passo 2

A admitância do circuito série é
Y=\frac{1}{Z_s}=\frac{1}{R+jX}=\frac{R-jX}{R^2+X^2}=G+jB
onde
G=\frac{R}{R^2+X^2},\quad B=-\frac{X}{R^2+X^2}.
Para obtermos o equivalente paralelo com um resistor R_p e um indutor L_p valem
R_p=\frac{1}{G}=\frac{R^2+X^2}{R}, \qquad \frac{1}{\omega L_p}=-B \;\Longrightarrow\; L_p=\frac{R^2+X^2}{\omega X}.

Passo 3

Para \omega=40\:\mathrm{rad/s}:
X=40\cdot0{,}003=0{,}12\:\Omega, \quad R^2+X^2=2^2+0{,}12^2=4{,}0144.
Logo
R_p=\frac{4{,}0144}{2}=2{,}0072\:\Omega, \qquad L_p=\frac{4{,}0144}{40\cdot0{,}12}=0{,}8363\:\mathrm H=836{,}3\:\mathrm{mH}.

Passo 4

Para \omega=80\:\mathrm{rad/s}:
X=80\cdot0{,}003=0{,}24\:\Omega, \quad R^2+X^2=2^2+0{,}24^2=4{,}0576.
Logo
R_p=\frac{4{,}0576}{2}=2{,}0288\:\Omega, \qquad L_p=\frac{4{,}0576}{80\cdot0{,}24}=0{,}2113\:\mathrm H=211{,}3\:\mathrm{mH}.

Resposta

Para \omega=40\:\mathrm{rad/s}: R_p\approx2,0072\,\Omega em paralelo com L_p\approx836,3\,\mathrm{mH}.\n
Para \omega=80\:\mathrm{rad/s}: R_p\approx2,0288\,\Omega em paralelo com L_p\approx211,3\,\mathrm{mH}.

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