Um circuito R L C série é construído utilizando como valores dos componentes R=100 \Omega e L=1,5 \mathrm{mH}, juntamente com uma fonte de tensão senoidal v_{s}. Se Q_{0}=7, determine ( a ) o módulo da impedância em 500 \mathrm{Mrad} / \mathrm{s}; ( b ) a corrente que circula em resposta a uma tensão v_{s}=2,5 \cos \left(425 \times 10^{6} t\right) \mathrm{V}.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série RLC com R=100\\ \Omega, L=1,5\\ \mathrm{mH} e fator de qualidade Q_{0}=7. Precisamos usar as definições de fator de qualidade e de frequência de ressonância para achar a capacitância C, e depois aplicar a fórmula da impedância série
Z(\omega)=R + j\bigl(\omega L - \tfrac{1}{\omega C}\bigr)
para (a) \omega=500\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s} e (b) \omega=425\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 2

Do fator de qualidade na configuração série vale
Q_{0}=\frac{\omega_{0}\,L}{R} \quad\Longrightarrow\quad \omega_{0}=\frac{Q_{0}\,R}{L}
Substituindo Q_{0}=7, R=100\\ \Omega e L=1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{H},
\omega_{0} =\frac{7\cdot100}{1{,}5\times10^{-3}} =4{,}6667\times10^{5}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Da definição da frequência de ressonância \omega_{0}=1/\sqrt{L\,C}, isolamos C:
C=\frac{1}{\omega_{0}^{2}\,L} =\frac{1}{(4{,}6667\times10^{5})^{2}\cdot1{,}5\times10^{-3}} \approx3{,}06\times10^{-9}\\ \mathrm{F}.

Passo 4

Para \omega_{a}=500\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s} calculamos
X_{L}=\omega_{a}L =500\times10^{6}\cdot1{,}5\times10^{-3}=7{,}5\times10^{5}\\ \Omega,
X_{C}=\frac{1}{\omega_{a}C} =\frac{1}{500\times10^{6}\cdot3{,}06\times10^{-9}} \approx0{,}65\\ \Omega,
Z_{a}=100 + j\bigl(7{,}5\times10^{5}-0{,}65\bigr)\\ \Omega \approx100 + j\,7{,}5\times10^{5}\\ \Omega,
|Z_{a}|=\sqrt{100^{2}+(7{,}5\times10^{5})^{2}} \approx7{,}5\times10^{5}\\ \Omega.

Passo 5

Para \omega_{b}=425\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s} temos
X_{L}'=\omega_{b}L =425\times10^{6}\cdot1{,}5\times10^{-3}=6{,}375\times10^{5}\\ \Omega,
X_{C}'=\frac{1}{\omega_{b}C} \approx0{,}77\\ \Omega,
Z_{b}=100 + j\bigl(6{,}375\times10^{5}-0{,}77\bigr)\\ \Omega \approx100 + j\,6{,}375\times10^{5}\\ \Omega,
o módulo
|Z_{b}|\approx\sqrt{100^{2}+(6{,}375\times10^{5})^{2}} \approx6{,}375\times10^{5}\\ \Omega,
e, para v_{s}(t)=2{,}5\cos\bigl(425\times10^{6}t\bigr), a amplitude da corrente é
I=\frac{2{,}5}{|Z_{b}|} \approx\frac{2{,}5}{6{,}375\times10^{5}} \approx3{,}92\times10^{-6}\\ \mathrm{A}.
O desfase é
\varphi=-\arctan\!\biggl(\frac{6{,}375\times10^{5}}{100}\biggr) \approx-89{,}99^\circ,
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i(t)\approx3{,}92\times10^{-6}\cos\bigl(425\times10^{6}t-89{,}99^\circ\bigr)\\ \mathrm{A}.

Resposta

(a) \displaystyle|Z| \approx7{,}5\times10^{5}\\ \Omega
(b) \displaystyle i(t)\approx3{,}92\times10^{-6}\cos\bigl(425\times10^{6}t-89{,}99^\circ\bigr)\\ \mathrm{A}

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