Uma rede R L C em paralelo é formada por um indutor de 200 \mu \mathrm{H}, e o restante dos componentes são escolhidos de tal modo que Q_{0}=8 \omega_{0}=5000 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Use expressões aproximadas para obter o ângulo da impedância de entrada para o circuito operando em (a) 2000 \mathrm{rad} / \mathrm{s} (b) 3000 \mathrm{rad} / \mathrm{s}; (c) 4000 \mathrm{rad} / \mathrm{s}; (d) 4500 rad/s. (e) Faça o gráfico de seus resultados juntamente com o resultado exato utilizando um eixo de frequência linear ( \mathrm{rad} / \mathrm{s} ).

Passo 1

O enunciado trata de uma rede RLC em paralelo com L=200\,\mu\text{H}. Os outros elementos são escolhidos para que o fator de qualidade paralelo seja Q_{0}=8 na frequência de ressonância \omega_{0}=5000, \mathrm{rad/s}. Precisamos achar o ângulo da impedância de entrada para quatro valores de \omega usando fórmulas aproximadas válidas perto de \omega_{0} e, em seguida, comparar com o resultado exato num gráfico versus \omega em escala linear.

Passo 2

Determinar C e R a partir de L, \omega_{0} e Q_{0}:
A ressonância satisfaz
\omega_{0}=\frac1{\sqrt{L\,C}} \quad\Longrightarrow\quad C=\frac1{L\,\omega_{0}^{2}}
e, para um paralelo,
Q_{0}=R\,\omega_{0}\,C \quad\Longrightarrow\quad R=\frac{Q_{0}}{\omega_{0}\,C}\,.
Substituindo L=200\times10^{-6},H e \omega_{0}=5000, \mathrm{rad/s}:
C=\frac1{200\times10^{-6}\times(5000)^{2}} =2.0\times10^{-4}\,\mathrm{F}, \quad R=\frac{8}{5000\times2.0\times10^{-4}} =8\\ \Omega.

Passo 3

Ângulo exato da impedância de entrada: a admitância total é
Y=G+jB \quad\text{com}\quad G=\frac1R, \quad B=\omega C-\frac1{\omega L},
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Z=\frac1{Y}\quad\Longrightarrow\quad \theta_{\rm exato} =\arg Z =\arctan\!\Bigl(R\bigl(\tfrac1{\omega L}-\omega C\bigr)\Bigr) =\arctan\!\Bigl(Q_{0}\bigl(\tfrac{\omega_{0}}{\omega}-\tfrac{\omega}{\omega_{0}}\bigr)\Bigr).
Perto de \omega_{0} definimos \varepsilon=(\omega-\omega_{0})/\omega_{0}, e usando
\tfrac{\omega_{0}}{\omega}-\tfrac{\omega}{\omega_{0}}\approx -2\,\varepsilon
vem a expressão aproximada
\theta_{\rm apr} \approx \arctan\bigl(-2\,Q_{0}\,\varepsilon\bigr).

Passo 4

Cálculo aproximado ( \theta_{\rm apr}) em cada \omega:
Defina \varepsilon=(\omega-\omega_{0})/\omega_{0} e X=-2\,Q_{0}\,\varepsilon.
\begin{array}{r|c|c|c} \omega\\ (\mathrm{rad/s}) & \varepsilon & X=-2Q_{0}\varepsilon & \theta_{\rm apr}=\arctan(X)\\hline 2000 & \tfrac{2000-5000}{5000}=-0,60 & -2\cdot8\cdot(-0,60)=9,6 & \arctan(9,6)\approx84,1^\circ\\\\ 3000 & -0,40 & -2\cdot8\cdot(-0,40)=6,4 & \arctan(6,4)\approx81,3^\circ\\\\ 4000 & -0,20 & -2\cdot8\cdot(-0,20)=3,2 & \arctan(3,2)\approx72,3^\circ\\\\ 4500 & -0,10 & -2\cdot8\cdot(-0,10)=1,6 & \arctan(1,6)\approx58,0^\circ \end{array}

Passo 5

Cálculo exato ( \theta_{\rm exato}) usando
\theta_{\rm exato}=\arctan\bigl(Q_{0}(\omega_{0}/\omega-\omega/\omega_{0})\bigr):
\begin{array}{r|c|c} \omega\\ (\mathrm{rad/s}) & Q_{0}\bigl(\tfrac{\omega_{0}}{\omega}-\tfrac{\omega}{\omega_{0}}\bigr) & \theta_{\rm exato}\\hline 2000 & 8\,(2,5-0,4)=16,8 & \arctan(16,8)\approx86,6^\circ\\\\ 3000 & 8\,(1,6667-0,6)=8,533 & \arctan(8,533)\approx83,3^\circ\\\\ 4000 & 8\,(1,25-0,8)=3,6 & \arctan(3,6)\approx74,6^\circ\\\\ 4500 & 8\,(1,1111-0,9)=1,689 & \arctan(1,689)\approx59,9^\circ \end{array}

Passo 6

Para o gráfico, no eixo horizontal plotar \omega ( 2000, 3000, 4000, 4500) e no vertical \theta. Traçar dois conjuntos de pontos e ligá-los suavemente: um para \theta_{\rm apr} e outro para \theta_{\rm exato}. Verá que a aproximação é boa perto de \omega_{0} mas tende a subestimar o ângulo à medida que |\omega-\omega_{0}| cresce.

Resposta

Valores aproximados e exatos de \theta:
(a) \omega=2000;rad/s: \theta_{\rm apr}\approx84,1^\circ, \theta_{\rm exato}\approx86,6^\circ
(b) \omega=3000;rad/s: \theta_{\rm apr}\approx81,3^\circ, \theta_{\rm exato}\approx83,3^\circ
(c) \omega=4000;rad/s: \theta_{\rm apr}\approx72,3^\circ, \theta_{\rm exato}\approx74,6^\circ
(d) \omega=4500;rad/s: \theta_{\rm apr}\approx58,0^\circ, \theta_{\rm exato}\approx59,9^\circ
Para (e), o gráfico de \theta versus \omega mostra duas curvas — a aproximada e a exata — que coincidem bem perto de 5000 rad/s e se afastam gradualmente para frequências mais longe da ressonância.

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