Determine o diagrama de Bode para amplitude para cada um dos seguintes:
2 \frac{\mathbf{s}^{2}+9 \mathbf{s}+20}{\mathbf{s}^{2}(\mathbf{s}+1)^{3}}.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função de transferência
H(s)=2\,\frac{s^{2}+9s+20}{s^{2}(s+1)^{3}}
e queremos o diagrama de Bode de amplitude (magnitude).
Conteúdo aplicado: fatoração em polos e zeros, identificação das frequências de canto, cálculo dos ganhos em dB e dos coeficientes angulares (em dB/década) para traçar a reta assintótica.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador para ver polos, zeros e suas frequências de canto:
s^{2}+9s+20=(s+4)(s+5),
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H(s)=2\,\frac{(s+4)(s+5)}{s^{2}(s+1)^{3}}.
Zeros em s=-4 e s=-5 \Rightarrow cantos em \omega=4 e \omega=5,rad/s.
Polos duplos em s=0 \Rightarrow integradores duplos (frequência de canto em \omega=0, slope inicial).
Polos triplos em s=-1 \Rightarrow canto em \omega=1,rad/s com variação de -60,dB/déc a partir daí.

Passo 3

Cada pólo/zero de 1ª ordem contribui \pm 20,dB/déc:
– dois integradores \Rightarrow slope inicial de -40,dB/déc para \omega>0.
– em \omega=1: três polos de 1ª ordem \Rightarrow variação extra de -3\times20=-60,dB/déc, totalizando -100,dB/déc logo após \omega=1.
– em \omega=4: zero de 1ª ordem \Rightarrow variação de +20,dB/déc, slope passa a -80,dB/déc.
– em \omega=5: outro zero de 1ª ordem \Rightarrow variação de +20,dB/déc, slope final de -60,dB/déc.

Passo 4

Calculamos o valor de referência em \omega=1,rad/s para ancorar as retas:
|H(j1)| =2\,\frac{|j1+4|\;|j1+5|}{|j1|^{2}\;|j1+1|^{3}} =2\,\frac{\sqrt{17}\;\sqrt{26}}{1\;\times(\sqrt2)^{3}} \approx 14{,}87,
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20\log_{10}|H(j1)|\approx 20\log_{10}(14{,}87)\approx 23{,}4\\ \text{dB}.

Passo 5

Agora montamos as retas assintóticas em dB:
Para cada região usamos como base o ponto \omega=1, M_{1}=23{,}4,dB e somamos o slope apropriado em função de \log_{10}\omega.
\text{Para }0<\omega<1:\quad 20\log_{10}|H(j\omega)|\approx 23{,}4 \;\\ -\;40\,\log_{10}\omega.
\text{Para }1\le\omega<4:\quad 20\log_{10}|H(j\omega)|\approx 23{,}4 \;\\ -\;100\,\log_{10}\omega.
Em \omega=4 a magnitude assintótica vale
23{,}4 -100\,\log_{10}(4)\approx -36{,}8\\ \text{dB}.
\text{Para }4\le\omega<5:\quad 20\log_{10}|H(j\omega)|\approx -36{,}8 \;\\ -\;80\,\log_{10}\frac{\omega}{4}.
Em \omega=5 a magnitude assintótica vale
-36{,}8 -80\,\log_{10}\!\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr)\approx -44{,}5\\ \text{dB}.
\text{Para }\omega\ge5:\quad 20\log_{10}|H(j\omega)|\approx -44{,}5 \;\\ -\;60\,\log_{10}\frac{\omega}{5}.

Resposta

O diagrama de Bode de magnitude assintótico tem:
– slope inicial -40,dB/déc até \omega=1,
– salto de slope -60,dB/déc em \omega=1 \to slope -100,dB/déc até \omega=4,
– salto de slope +20,dB/déc em \omega=4 \to slope -80,dB/déc até \omega=5,
– salto de slope +20,dB/déc em \omega=5 \to slope -60,dB/déc para \omega>5;
ancorado em 20\log_{10}|H(j1)|\approx23{,}4,dB.

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