O conteúdo envolvido é análise de Bode: vamos obter a expressão de |H(j\omega)|, identificar polos e zeros, calcular o ganho em DC e em alta frequência e montar as retas assintóticas (slope) com suas frequências de quebra.
Determinamos polos e zeros:
– Denominador s^{2}+1 tem dois polos complexos conjugados em \pm j1, portanto frequência de quebra \omega_{p}=1 rad/s, ordem 2 (slope -40 dB/dec após a quebra).
– Numerador 3 + 0,1\,s + \tfrac{s^{2}}{3} é um par de zeros complexos com frequência natural
\omega_{z}=\sqrt{3\cdot3}=3\text{ rad/s}
e amortecimento baixo (\zeta\approx0{,}05), portanto assume-se quebra de ordem 2 a \omega_{z}=3 rad/s (slope +40 dB/dec após a quebra).
Passo 4
Calculamos os ganhos em DC (\omega\to0) e em alta frequência (\omega\to\infty):
– Em DC: H(0)=3/1=3\Rightarrow 20\log_{10}3\approx9{,}54 dB.
– Em alta frequência domina o termo s^{2} em numerador e denominador:
Montamos as retas assintóticas de amplitude em dB:
– Para 0<\omega<1: slope 0 dB/decade, nível +9{,}54 dB.
– Em \omega=1 há quebra de 2 polos: slope passa a -40 dB/decade.
– Em \omega=3 há quebra de 2 zeros: slope sobe de -40 para 0 dB/decade.
– Para \omega>3: slope 0 dB/decade, nível final -9{,}54 dB.
Passo 6
Resumo do diagrama de Bode de amplitude (assintótico):
\omega (rad/s)
0,1
1
3
10
H
(dB)
9,54
9,54\to*
–9,54
–9,54
Slope
0
–40 dB/decade between 1 and 3
0
(*) Na frequência \omega=1 a curva real tem pico infinito (polo não amortecido), mas a reta assintótica cai imediatamente com slope -40.
Resposta
Diagrama de Bode de amplitude assintótico de H(s):
– Ganho em DC: +9{,}54 dB com slope 0.
– Quebra em \omega_{p}=1 rad/s (2 polos) \to slope -40 dB/dec.
– Quebra em \omega_{z}=3 rad/s (2 zeros) \to slope volta a 0 dB/dec.
– Ganho final (\omega\gg 3): -9{,}54 dB.
Elétrica - Hayt - Análise de Circuitos em Engenharia - 8ª Edição - Capítulo 16.Exercícios - Ex. 37.a