Determine o diagrama de Bode para amplitude para cada um dos seguintes:
\frac{3+0,1 \mathbf{s}+\mathbf{s}^{2} / 3}{\mathbf{s}^{2}+1}.

Passo 1

O enunciado pede o diagrama de Bode de amplitude da função de transferência
H(s)=\frac{3 + 0,1\,s + \tfrac{s^{2}}{3}}{s^{2}+1}.
O conteúdo envolvido é análise de Bode: vamos obter a expressão de |H(j\omega)|, identificar polos e zeros, calcular o ganho em DC e em alta frequência e montar as retas assintóticas (slope) com suas frequências de quebra.

Passo 2

Substituímos s=j\omega e escrevemos a magnitude:
|H(j\omega)| = \frac{\bigl|3 + 0,1\,j\omega + \tfrac{(j\omega)^{2}}{3}\bigr|}{\bigl| (j\omega)^{2}+1\bigr|} = \frac{\sqrt{\bigl(3 - \tfrac{\omega^{2}}{3}\bigr)^{2} + (0,1\,\omega)^{2}}}{\bigl|1 - \omega^{2}\bigr|}.

Passo 3

Determinamos polos e zeros:
– Denominador s^{2}+1 tem dois polos complexos conjugados em \pm j1, portanto frequência de quebra \omega_{p}=1 rad/s, ordem 2 (slope -40 dB/dec após a quebra).
– Numerador 3 + 0,1\,s + \tfrac{s^{2}}{3} é um par de zeros complexos com frequência natural
\omega_{z}=\sqrt{3\cdot3}=3\text{ rad/s}
e amortecimento baixo ( \zeta\approx0{,}05), portanto assume-se quebra de ordem 2 a \omega_{z}=3 rad/s (slope +40 dB/dec após a quebra).

Passo 4

Calculamos os ganhos em DC ( \omega\to0) e em alta frequência ( \omega\to\infty):
– Em DC: H(0)=3/1=3\Rightarrow 20\log_{10}3\approx9{,}54 dB.
– Em alta frequência domina o termo s^{2} em numerador e denominador:
H(j\omega)\approx\frac{\tfrac{1}{3}\,s^{2}}{s^{2}}=\tfrac{1}{3}\;\Rightarrow\;20\log_{10}\tfrac{1}{3}\approx-9{,}54\text{ dB}.

Passo 5

Montamos as retas assintóticas de amplitude em dB:
– Para 0<\omega<1: slope 0 dB/decade, nível +9{,}54 dB.
– Em \omega=1 há quebra de 2 polos: slope passa a -40 dB/decade.
– Em \omega=3 há quebra de 2 zeros: slope sobe de -40 para 0 dB/decade.
– Para \omega>3: slope 0 dB/decade, nível final -9{,}54 dB.

Passo 6

Resumo do diagrama de Bode de amplitude (assintótico):
\omega (rad/s) 0,1 1 3 10
H (dB) 9,54 9,54\to* 9,54 9,54
Slope 0 40 dB/decade between 1 and 3 0
(*) Na frequência \omega=1 a curva real tem pico infinito (polo não amortecido), mas a reta assintótica cai imediatamente com slope -40.

Resposta

Diagrama de Bode de amplitude assintótico de H(s):
– Ganho em DC: +9{,}54 dB com slope 0.
– Quebra em \omega_{p}=1 rad/s ( 2 polos) \to slope -40 dB/dec.
– Quebra em \omega_{z}=3 rad/s ( 2 zeros) \to slope volta a 0 dB/dec.
– Ganho final ( \omega\gg 3): -9{,}54 dB.

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