Uma rede R L C em paralelo é formada por um indutor de 5 mH , e o restante dos componentes são escolhidos de tal modo que Q_{0}=6 \omega_{0}=1000 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Determine o valor aproximado do módulo da impedância de entrada para o circuito operando em (a) 500 \mathrm{rad} / \mathrm{s}; (b) 750 \mathrm{rad} / \mathrm{s}; (c) 900 \mathrm{rad} / \mathrm{s}; (d) 1100 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. (e) Faça o gráfico de seus resultados juntamente com o resultado exato utilizando um eixo de frequência linear ( \mathrm{rad} / \mathrm{s} ).

Passo 1

O circuito é um RLC em paralelo com indutância L=5\text{ mH}, projetado para ter fator de qualidade Q_{0}=6 em frequência de ressonância \omega_{0}=1000\\ \mathrm{rad/s}. Precisamos estimar, de forma aproximada, o módulo da impedância de entrada \bigl|Z(\omega)\bigr| nas frequências \omega = 500,\;750,\;900,\;1100\\ \mathrm{rad/s} e, por fim, comparar essa estimativa com o valor exato num gráfico em eixo de frequência linear. O conteúdo usado será: cálculo de R e C a partir de L,\;\omega_{0},\;Q_{0}, derivação da fórmula aproximada de \bigl|Z(\omega)\bigr| perto de \omega_{0} e expressão exata de \bigl|Z(\omega)\bigr|.

Passo 2

Primeiro achamos C e R.
Pela ressonância em paralelo vale
\omega_{0} \;=\;\frac1{\sqrt{L\,C}} \quad\Longrightarrow\quad C=\frac1{\omega_{0}^{2}\,L} =\frac1{(1000)^{2}\cdot5\times10^{-3}} =2.0\times10^{-4}\\ \mathrm F.
Pelo fator de qualidade paralelo
Q_{0}=\frac{R}{\omega_{0}\,L} \quad\Longrightarrow\quad R=Q_{0}\,\omega_{0}\,L =6\cdot1000\cdot5\times10^{-3} =30\\ \Omega.

Passo 3

Para frequências próximas a \omega_{0} podemos linearizar a susceptância do paralelo. Chamando \Delta\omega=\omega-\omega_{0}, a condutância é G=1/R e a susceptância varia como
B(\omega)\approx 2\,C\,\Delta\omega,
logo
\frac{B}{G}\approx 2\,R\,C\,\Delta\omega =2\,Q_{0}\,\frac{\Delta\omega}{\omega_{0}}.
Assim a impedância do paralelo fica aproximadamente
\bigl|Z(\omega)\bigr| \approx \frac{R}{\sqrt{1+\bigl(2\,Q_{0}\,(\omega-\omega_{0})/\omega_{0}\bigr)^{2}}}\,.

Passo 4

Agora basta entrar com cada \omega:
(a) \omega=500\\ \mathrm{rad/s}
\Delta\omega=-500,\quad 2Q_{0}\frac{\Delta\omega}{\omega_{0}}=2\cdot6\cdot\frac{-500}{1000}=-6,
\bigl|Z(500)\bigr| \approx\frac{30}{\sqrt{1+(-6)^{2}}} =\frac{30}{\sqrt{37}} \approx4{,}93\\ \Omega.
(b) \omega=750\\ \mathrm{rad/s}
\Delta\omega=-250,\quad 2Q_{0}\frac{\Delta\omega}{\omega_{0}}=-3,
\bigl|Z(750)\bigr| \approx\frac{30}{\sqrt{1+(-3)^{2}}} =\frac{30}{\sqrt{10}} \approx9{,}49\\ \Omega.
(c) \omega=900\\ \mathrm{rad/s}
\Delta\omega=-100,\quad 2Q_{0}\frac{\Delta\omega}{\omega_{0}}=-1{,}2,
\bigl|Z(900)\bigr| \approx\frac{30}{\sqrt{1+(-1{,}2)^{2}}} =\frac{30}{\sqrt{2{,}44}} \approx19{,}19\\ \Omega.
(d) \omega=1100\\ \mathrm{rad/s}
\Delta\omega=+100,\quad 2Q_{0}\frac{\Delta\omega}{\omega_{0}}=+1{,}2,
\bigl|Z(1100)\bigr| \approx\frac{30}{\sqrt{1+(1{,}2)^{2}}} \approx19{,}19\\ \Omega.

Passo 5

A expressão exata para \bigl|Z(\omega)\bigr| do paralelo é
\bigl|Z(\omega)\bigr| =\frac1{\sqrt{\bigl(1/R\bigr)^{2}+\bigl(\omega\,C-\tfrac1{\omega\,L}\bigr)^{2}}}\,.
Para o gráfico trace duas curvas de \omega\mapsto\bigl|Z(\omega)\bigr| de 0 a, digamos, 2000\\ \mathrm{rad/s}: uma usando a fórmula aproximada do Passo 3 e outra usando a expressão exata acima. Coloque no eixo horizontal \omega linear e no vertical \bigl|Z\bigr| em \Omega.

Resposta

(a) \bigl|Z(500)\bigr|\approx4{,}93\\ \Omega
(b) \bigl|Z(750)\bigr|\approx9{,}49\\ \Omega
(c) \bigl|Z(900)\bigr|\approx19{,}19\\ \Omega
(d) \bigl|Z(1100)\bigr|\approx19{,}19\\ \Omega

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