Determine o diagrama de Bode para amplitude das seguintes funções de transferência, comparando-o com o resultado previsto usando o MATLAB:
\mathbf{s}^{2}+0,2 \mathbf{s}+1;

Passo 1

O enunciado pede o diagrama de Bode de magnitude da transferência
H(s)=s^2+0,2\,s+1
ou seja, queremos estudar
H(j\omega)= (j\omega)^2 +0,2\,(j\omega)+1
e traçar 20\log_{10}|H(j\omega)| em função de \omega. Vamos comparar o resultado assintótico que obtivermos “na mão” com o gráfico exato fornecido pelo MATLAB.

Passo 2

Escrevemos a expressão da magnitude de H(j\omega):
|H(j\omega)| = \bigl|(j\omega)^2 +0,2\,j\omega +1\bigr| = \sqrt{(1-\omega^2)^2 + (0,2\,\omega)^2}.
Em decibéis isso é
20\log_{10}\bigl|H(j\omega)\bigr| =10\log_{10}\bigl[(1-\omega^2)^2 + (0,2\,\omega)^2\bigr].

Passo 3

Analisamos os regimes extremos para montar o traçado assintótico:
– Para \omega\to0, temos (1-\omega^2)\approx1 e 0,2\,\omega\approx0, logo |H|\to1 e
20\log_{10}|H|\to0\\ \text{dB}.
– Para \omega\to\infty, domina \omega^2, de modo que
|H|\approx\omega^2 \quad\Longrightarrow\quad 20\log_{10}|H|\approx20\log_{10}(\omega^2)=40\,\log_{10}(\omega),
isto é, pente de +40 dB/década para altas frequências.

Passo 4

Reconhecemos a forma padrão de segunda ordem
s^2 +2\zeta\omega_n s + \omega_n^2
comparando com s^2+0{,}2\,s+1, temos
\omega_n=1,\quad 2\zeta\omega_n=0{,}2 \;\Longrightarrow\; \zeta=0{,}1.
O fator de qualidade é
Q=\frac1{2\zeta}=5.

Passo 5

Em sistemas subamortecidos ( \zeta<1/\sqrt2) aparece um pico de ressonância em
\omega_p=\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2} =\sqrt{1-2\,(0,1)^2}\approx0,99,
com ganho máximo
M_p=\frac1{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}} =\frac1{0{,}2\sqrt{0{,}99}}\approx5{,}025 \quad\Longrightarrow\quad 20\log_{10}M_p\approx14{,}0\\ \text{dB}.

Passo 6

O traçado assintótico de magnitude fica, então:
0\\ \text{dB} constante até perto de \omega=1.
– Em \omega\approx1 há um pico de \approx+14\,\text{dB}.
– Acima de \omega=1 segue com inclinação de +40\\ \text{dB/déc}é.

Passo 7

Comparando com o MATLAB, o gráfico “exato” apresenta exatamente esse pico de ressonância em \omega\approx1 rad/s e ganho máximo \approx14 dB, enquanto a linha assintótica simplificada mostra somente o degrau em 0 dB e depois o pente +40 dB/déc sem capturar perfeitamente a curvatura ao redor de \omega=1.

Resposta

O diagrama de Bode de magnitude apresenta
\;0\\ \text{dB} até \omega\approx1, pico ressonante de \approx+14\\ \text{dB} em \omega\approx0{,}99, e depois declive assintótico de +40\\ \text{dB/déc}é. O MATLAB confirma esse comportamento exato, apenas exibindo a pequena curvatura de ressonância que o traçado assintótico não mostra nitidamente.

Exercícios de Livros Relacionados