Um circuito R L C em paralelo é construído usando componentes cujo os valores são R=1 \Omega, C=3 \mathrm{~F}, e L=1 / 3 \mathrm{H}. Determine os valores dos componentes necessários se a rede tiver
uma impedância de pico de 500 \mathrm{k} \Omega;

Passo 1

O enunciado descreve uma rede RLC em paralelo em que a resistência R está em série com o indutor L e esse ramo fica em paralelo com o capacitor C. Na frequência de ressonância \omega_0 as reatâncias de L e C se cancelam, e a impedância de pico da rede é dada por
Z_{\text{pico}}=\frac{L}{C\,R}.
Além disso, a frequência de ressonância satisfaz
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{L\,C}}.
Aqui sabemos que, para os valores originais,
R=1~\Omega,\quad C=3~\mathrm F,\quad L=\tfrac13~\mathrm H
e consequentemente \omega_0=1~\mathrm{rad/s}. Queremos agora projetar uma nova rede que mantenha essa mesma \omega_0 mas tenha
Z_{\text{pico}}=500\times10^3~\Omega.

Passo 2

Escrevendo as duas equações que ligam L, C e R ao pico de impedância e à ressonância, temos
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{L\,C}}=1 \quad\Longrightarrow\quad L\,C=1,
Z_{\text{pico}}=\frac{L}{C\,R}=500\times10^3,
sabendo que vamos manter R=1~\Omega.

Passo 3

Da segunda equação, como R=1, segue
\frac{L}{C}=500\times10^3 \quad\Longrightarrow\quad L=500\times10^3\,C.
Substituindo em L\,C=1
(500\times10^3\,C)\,C=1 \quad\Longrightarrow\quad C^2=2\times10^{-6} \quad\Longrightarrow\quad C=\sqrt{2\times10^{-6}}\approx1{,}414\times10^{-3}~\mathrm F.
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L=500\times10^3\times1{,}414\times10^{-3}\approx707{,}1~\mathrm H.

Resposta

Os novos valores dos componentes, mantendo \omega_0=1~\mathrm{rad/s} e atingindo Z_{\text{pico}}=500\:\mathrm{k}\Omega, são
R=1~\Omega,\quad C\approx1{,}414\times10^{-3}~\mathrm F,\quad L\approx707{,}1~\mathrm H.

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