Esboce o diagrama de Bode de amplitude e fase para as seguintes funções:
3+4 \mathbf{s};

Passo 1

O enunciado nos dá a função de transferência \,H(s)=3+4s. Precisamos esboçar o diagrama de Bode de amplitude e fase, o que envolve substituir s=j\omega, obter expressões para o módulo e a fase e identificar pontos característicos como a frequência de canto. O conteúdo aplicado é análise em frequência de sistemas lineares.

Passo 2

Substituindo s=j\omega obtemos
H(j\omega)=3+4j\omega.
O módulo é
\bigl|H(j\omega)\bigr|=\sqrt{3^2+(4\omega)^2}=\sqrt{9+16\omega^2},
e a fase é
\varphi(\omega)=\arg\bigl(3+4j\omega\bigr)=\arctan\frac{4\omega}{3}.

Passo 3

A frequência de canto \omega_c surge quando os termos real e imaginário têm a mesma magnitude, ou seja 3=4\omega_c, logo
\omega_c=\tfrac{3}{4}\;\text{rad/s}.
Para \omega\ll\omega_c temos \bigl|H(j\omega)\bigr|\approx3 e em dB isso equivale a
20\log_{10}(3)\approx9{,}54\;\text{dB}.
Para \omega\gg\omega_c vale \bigl|H(j\omega)\bigr|\approx4\omega, logo em dB
20\log_{10}(4\omega)=20\log_{10}(4)+20\log_{10}(\omega)\approx12{,}04+20\log_{10}(\omega).

Passo 4

Para a fase, quando \omega\to0 temos \varphi\to\arctan(0)=0^\circ, em \omega=\omega_c vale
\varphi(\omega_c)=\arctan(1)=45^\circ,
e conforme \omega\to\infty a fase tende a \arctan(+\infty)=90^\circ. Assim, a curva de fase sobe suavemente de 0^\circ a 90^\circ em torno de \omega_c.

Passo 5

O esboço do diagrama de magnitude em eixo logarítmico de \omega consiste em uma reta horizontal a 9{,}54 dB para \omega<0,75 rad/s e em seguida uma reta com inclinação de +20 dB/década para \omega>0,75 rad/s. O diagrama de fase é uma curva em forma de “S” que inicia em 0^\circ, cruza 45^\circ em 0,75 rad/s e tende a 90^\circ em altas frequências.

Resposta

A magnitude em dB é
20\log_{10}\sqrt{9+16\omega^2},
com asíntotas de 9{,}54 dB para \omega<0,75 rad/s e de 12{,}04+20\log_{10}(\omega) dB para \omega>0,75 rad/s. A fase é
\varphi(\omega)=\arctan\frac{4\omega}{3},
variando de 0^\circ a 90^\circ e igualando a 45^\circ em \omega=0,75 rad/s. Esse é o esboço do diagrama de Bode de amplitude e fase para 3+4s.

Exercícios de Livros Relacionados