Uma rede R L C em paralelo é construída utilizando R=5 \Omega, L=100 \mathrm{mH} e C=1 \mathrm{mF}. (a) Calcule Q_{0}. (b) Determine em que frequências o módulo da impedância cai para 90 \% do seu valor máximo.

Passo 1

O enunciado apresenta uma rede RLC em paralelo com
R = 5\\ \Omega,\quad L = 100\\ \text{mH},\quad C = 1\\ \text{mF},
e pede:
  1. Calcular o fator de qualidade \,Q_{0} do circuito em paralelo.
  2. Determinar as frequências em que o módulo da impedância cai para 90\% do seu valor máximo.
Para resolver, vamos usar:
  • A definição de Q para circuito RLC em paralelo,
  • A expressão da impedância equivalente em função de \omega,
  • A condição \lvert Z(j\omega)\rvert = 0{,}9\,Z_{\max}.

Passo 2

Em um circuito RLC em paralelo, o fator de qualidade em ressonância é dado por
Q_{0} \;=\; R\,\sqrt{\frac{C}{L}}.
Aqui,
\sqrt{\frac{C}{L}} =\sqrt{\frac{1\times10^{-3}}{100\times10^{-3}}} =\sqrt{0{,}01} =0{,}1.
Logo
Q_{0} = 5 \times 0{,}1 = 0{,}5.

Passo 3

A impedância de um paralelo R\parallel L\parallel C pode ser escrita como
Z(j\omega) =\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}+j\Bigl(\omega C-\frac{1}{\omega L}\Bigr)} =\frac{R}{1 + j\,R\Bigl(\omega C-\frac{1}{\omega L}\Bigr)}.
O valor máximo ocorre em ressonância \omega_{0}=1/\sqrt{LC}, onde
\omega C-1/(\omega L)=0, e então
Z_{\max}=|Z(j\omega_{0})|=R.
Queremos achar \omega tais que
|Z(j\omega)| = 0{,}9\,R \quad\Longrightarrow\quad \frac{R}{\sqrt{1 + \bigl[R(\omega C-1/(\omega L))\bigr]^{2}}} = 0{,}9\,R.
Cancelando R e elevando ao quadrado:
\frac{1}{1 + \bigl[R(\omega C-1/(\omega L))\bigr]^{2}} = (0{,}9)^{2} = 0{,}81 \quad\Longrightarrow\quad 1 + \bigl[R(\omega C-1/(\omega L))\bigr]^{2} = \frac{1}{0{,}81} = 1{,}2345679.
Logo
\bigl[R(\omega C-1/(\omega L))\bigr]^{2} = 0{,}2345679 \quad\Longrightarrow\quad R\Bigl(\omega C-\frac{1}{\omega L}\Bigr) =\pm\sqrt{0{,}2345679} =\pm0{,}4841229.
Dividindo por R=5\\ \Omega, definimos
\delta = \omega C - \frac{1}{\omega L} =\pm\frac{0{,}4841229}{5} =\pm0{,}0968246\\ \text{S}.

Passo 4

Para cada sinal de \delta obtemos a equação
\omega C - \frac{1}{\omega L} = \pm0{,}0968246 \quad\Longrightarrow\quad \omega^{2} LC \;-\;\bigl(\pm0{,}0968246\bigr)L\,\omega \;-\;1 = 0.
Substituindo L=0{,}1\\ \text{H} e LC=10^{-4}:
10^{-4}\,\omega^{2} -\bigl(\pm0{,}0968246\bigr)\times0{,}1\,\omega -1 = 0.
Para \delta=+0{,}0968246 obtemos duas raízes
\omega_{a}\approx148{,}4\\ \mathrm{rad/s},\quad \omega_{b}\approx -51{,}6\\ \mathrm{rad/s}
e para \delta=-0{,}0968246
\omega_{c}\approx51{,}6\\ \mathrm{rad/s},\quad \omega_{d}\approx -148{,}4\\ \mathrm{rad/s}.
Descartando as raízes negativas, ficamos com
\omega_{1}\approx51{,}6\\ \mathrm{rad/s}, \quad \omega_{2}\approx148{,}4\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Convertendo para frequência em hertz usando f=\omega/(2\pi):
f_{1}=\frac{51{,}6}{2\pi}\approx8{,}21\\ \mathrm{Hz}, \quad f_{2}=\frac{148{,}4}{2\pi}\approx23{,}61\\ \mathrm{Hz}.

Resposta

(a) \,Q_{0}=0{,}5.
(b) As frequências em que \lvert Z\rvert cai para 90\% de Z_{\max} são aproximadamente
f_{1}\approx8{,}21\\ \mathrm{Hz} \quad\text{e}\quad f_{2}\approx23{,}61\\ \mathrm{Hz}.

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