Um circuito R L C é construído utilizando R=5 \Omega, L=20 \mathrm{mH} e C=1 \mathrm{mF}. Calcule Q_{0}, a largura de faixa, e o módulo da impedância em 0,95 \omega_{0} se o circuito é (a) ligado em paralelo; (b) ligado em série. (c) Verificar suas soluções por meio de simulações apropriadas no PSpice. (Dica: um resistor grande em paralelo com o capacitor irá evitar mensagens de erro associadas a ausência de caminho C C ao terra, e uma pequena resistência, em série com a fonte VCA evitará o curto–circuito pelo indutor durante a determinação do ponto de polarização CC)

Passo 1

O enunciado pede para um circuito RLC com
R = 5\\ \Omega,\quad L = 20\\ \mathrm{mH},\quad C = 1\\ \mathrm{mF}
calcular, nos casos (a) paralelo e (b) série, três quantidades:
  1. o fator de qualidade Q_0,
  2. a largura de faixa (bandwidth) \Delta \omega,
  3. o módulo da impedância \lvert Z(j\omega)\rvert em \omega = 0,95\,\omega_0.
    Vamos precisar de: fórmula da frequência natural
    \omega_0 = 1/\sqrt{LC},
    definições de Q_0 para série e paralelo,
    \Delta\omega = \omega_0/Q_0,
    e expressão de Z(j\omega) em cada caso.

Passo 2

Calcular a frequência de ressonância:
\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L\,C}} = \frac{1}{\sqrt{20\times10^{-3}\times1\times10^{-3}}} \approx 223{,}61\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Caso paralelo:
Q_0 = R\sqrt{\dfrac{C}{L}} = 5\sqrt{\dfrac{1\times10^{-3}}{20\times10^{-3}}} = 5\sqrt{\tfrac1{20}} \approx 1{,}118.
– Banda:
\Delta\omega = \frac{\omega_0}{Q_0} \approx \frac{223{,}61}{1{,}118} \approx 200\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Impedância do paralelo em \omega = 0{,}95\,\omega_0:
definimos
\omega = 0{,}95\,\omega_0 = 0{,}95\times 223{,}61 \approx 212{,}43\\ \mathrm{rad/s},
a admitância
Y = \frac1R + \frac1{j\omega L} + j\omega C = G + j\bigl(\omega C - \tfrac1{\omega L}\bigr),
com
G = 0{,}2\\ \mathrm{S},\quad \omega C = 0{,}21243\\ \mathrm{S},\quad \tfrac1{\omega L}=0{,}23540\\ \mathrm{S}.
Logo
\lvert Y\rvert = \sqrt{0{,}2^2 + (0{,}21243 - 0{,}23540)^2} \approx 0{,}20131\\ \mathrm{S},
\lvert Z\rvert = \frac1{\lvert Y\rvert} \approx 4{,}97\\ \Omega.

Passo 5

Caso série:
Q_0 = \dfrac{\omega_0 L}{R} = \dfrac{223{,}61\times 20\times10^{-3}}{5} \approx 0{,}8944.
– Banda:
\Delta\omega = \frac{\omega_0}{Q_0} \approx \frac{223{,}61}{0{,}8944} \approx 250\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Impedância do série em \omega = 212{,}43\\ \mathrm{rad/s}:
Z = R + j(\omega L - 1/(\omega C)) = 5 + j(4{,}2486 - 4{,}7058) = 5 - j\,0{,}4572\\ \Omega,
\lvert Z\rvert = \sqrt{5^2 + (-0{,}4572)^2} \approx 5{,}02\\ \Omega.

Resposta

(a) paralelo:
Q_0\approx1{,}118,\quad \Delta\omega\approx200\\ \mathrm{rad/s},\quad \lvert Z(0{,}95\,\omega_0)\rvert\approx4{,}97\\ \Omega.
(b) série:
Q_0\approx0{,}8944,\quad \Delta\omega\approx250\\ \mathrm{rad/s},\quad \lvert Z(0{,}95\,\omega_0)\rvert\approx5{,}02\\ \Omega.
(c) As mesmas soluções podem ser conferidas montando cada circuito no PSpice e medindo Q, \Delta\omega e \lvert Z\rvert usando varredura em frequência.

Exercícios de Livros Relacionados