Projete um filtro Butterworth passa-altas de quarta ordem com ganho mínimo de 15 dB e uma frequência de corte de 1100 \mathrm{rad} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede um filtro Butterworth passa-altas de ordem 4 com frequência de corte \omega_c = 1100,rad/s e ganho de passabanda mínimo de 15 dB.
Conteúdos necessários:
1. Polinômio normalizado de Butterworth de 4ª ordem.
2. Transformação de passa-baixas para passa-altas ( s\to \omega_c/s).
3. Cálculo do ganho K para obter 15 dB no passabanda.

Passo 2

O ganho desejado no passabanda é
15\text{ dB} = 20\log_{10}K \quad\Longrightarrow\quad K = 10^{15/20} \approx 5{,}623.

Passo 3

O polinômio normalizado de Butterworth de ordem 4 (passa-baixas, \omega_c=1) é
D_{\text{norm}}(s) \;=\; s^4 \;+\; 2{,}6131\,s^3 \;+\; 3{,}4142\,s^2 \;+\; 2{,}6131\,s \;+\; 1.

Passo 4

Aplicando a transformação passa-altas s\to \omega_c/s, o denominador torna-se
D_{HP}(s) =\Bigl(\frac{\omega_c}{s}\Bigr)^4 +2{,}6131\Bigl(\frac{\omega_c}{s}\Bigr)^3 +3{,}4142\Bigl(\frac{\omega_c}{s}\Bigr)^2 +2{,}6131\Bigl(\frac{\omega_c}{s}\Bigr) +1.
Multiplicando tudo por s^4 para limpar frações, obtemos
D_{HP}(s) = s^4 +2{,}6131\,\omega_c\,s^3 +3{,}4142\,\omega_c^2\,s^2 +2{,}6131\,\omega_c^3\,s +\omega_c^4.

Passo 5

Substituindo \omega_c=1100,rad/s e incluindo o ganho K, o filtro final é
H(s) =K\;\frac{s^4}{s^4 +2{,}6131\,\omega_c\,s^3 +3{,}4142\,\omega_c^2\,s^2 +2{,}6131\,\omega_c^3\,s +\omega_c^4},
ou seja
H(s) =5{,}623\;\frac{s^4} {s^4 +2{,}6131\cdot1100\,s^3 +3{,}4142\cdot(1100)^2\,s^2 +2{,}6131\cdot(1100)^3\,s +(1100)^4}.

Resposta

\boxed{ H(s) =5{,}623\;\frac{s^4} {s^4 +2{,}6131\,(1100)\,s^3 +3{,}4142\,(1100)^2\,s^2 +2{,}6131\,(1100)^3\,s +(1100)^4} }
Este filtro é de 4ª ordem, passa-altas, com \omega_c=1100,rad/s e ganho de passabanda 15 dB.

Exercícios de Livros Relacionados