Projete um filtro passa-baixas de segunda ordem com um ganho de tensão de 5 dB e uma frequência de corte de 1700 kHz com base em (a) polinômio de Butterworth; (b) Polinômio de Chebyshev para um fator de ondulação de 3 dB .

Passo 1

O enunciado pede o projeto de um filtro passa-baixas analógico de segunda ordem com ganho de tensão de 5 dB e frequência de corte f_c=1700 kHz. Vamos usar dois protótipos de denominador:
(a) Butterworth de ordem n=2
(b) Chebyshev de ordem n=2 com ondulação de 3 dB.
Primeiro convertemos o ganho para escala linear e calculamos a pulsação de corte:
A_0 = 10^{\,5/20}\approx1{,}778, \qquad \omega_c = 2\pi f_c = 2\pi\cdot1{,}7\times10^6\\ \mathrm{rad/s}\approx1{,}07\times10^7\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 2

Projeto Butterworth
O polinômio normalizado de Butterworth de ordem 2 é
D_{\mathrm{norm}}(s)=s^2+\sqrt{2}\,s+1.
Escalando em \omega_c temos
D_B(s)=s^2 + \sqrt{2}\,\omega_c\,s + \omega_c^2.
Para garantir ganho A_0 em CC, o numerador é A_0\omega_c^2. Logo,
H_B(s) =\frac{A_0\,\omega_c^2}{s^2+\sqrt{2}\,\omega_c\,s+\omega_c^2}.
Substituindo \omega_c\approx1,07\times10^7 e A_0\approx1,778, obtemos
H_B(s) \approx \frac{2{,}04\times10^{14}}{s^2+1{,}51\times10^7\,s+1{,}15\times10^{14}}.

Passo 3

Projeto Chebyshev ( 3 dB de ondulação)
O fator de ondulação é
\epsilon = \sqrt{10^{\,3/10}-1}\approx0{,}997.
Define-se
\alpha = \tfrac12\,\arsinh\bigl(1/\epsilon\bigr) \approx\tfrac12\,\arsinh(1{,}003)\approx0{,}441.
Para ordem n=2, os polos ficam em ângulo \pi/4, logo
s_{p_{1,2}} =\omega_c\bigl(-\sin\tfrac\pi4\,\operatorname{sinh}\alpha \pm j\,\cos\tfrac\pi4\,\operatorname{cosh}\alpha\bigr) \approx\omega_c(-0{,}321 \pm j\,0{,}779).

Passo 4

Formamos o denominador a partir dos polos:
D_C(s) =(s - s_{p_1})(s - s_{p_2}) =s^2 -2\Re(s_{p_1})\,s + |s_{p_1}|^2 =s^2 +0{,}643\,\omega_c\,s +0{,}710\,\omega_c^2.
Em s=0 fica D_C(0)=0{,}710\,\omega_c^2, então para ganho A_0 o numerador vale
N_C = A_0\cdot0{,}710\,\omega_c^2\approx1{,}778\cdot0{,}710\,(1{,}07\times10^7)^2 \approx1{,}44\times10^{14}.
Portanto
H_C(s) =\frac{N_C}{s^2+0{,}643\,\omega_c\,s+0{,}710\,\omega_c^2} \approx \frac{1{,}44\times10^{14}}{s^2+6{,}89\times10^6\,s+8{,}13\times10^{13}}.

Resposta

(a) Butterworth:
H_B(s)=\frac{1{,}778\;\omega_c^2}{s^2+\sqrt{2}\,\omega_c\,s+\omega_c^2} \approx \frac{2{,}04\times10^{14}}{s^2+1{,}51\times10^7\,s+1{,}15\times10^{14}}.
(b) Chebyshev ( 3 dB):
H_C(s)=\frac{1{,}44\times10^{14}}{s^2+6{,}89\times10^6\,s+8{,}13\times10^{13}}.

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