(a) Projete um filtro Butterworth passa-altas de segunda ordem com frequência de corte de 2000 Hz , e um ganho de tensão de 4,5 \mathrm{~dB}. (b) Verifique o seu projeto com uma simulação apropriada no PSpice.

Passo 1

O enunciado pede para projetar um filtro ativo Butterworth passa-altas de segunda ordem com frequência de corte f_c=2000\\ \text{Hz} e ganho em tensão na banda de passagem de 4{,}5\\ \text{dB}.
Conteúdo: topologia Sallen–Key passa-altas não inversora. Vamos usar a forma geral do polo duplo para extrair as fórmulas de Q, \omega_0 e o ganho estático K.

Passo 2

Equações do filtro Sallen–Key passa-altas com ganho K (não inversor) e elementos simétricos R_1=R_2=R, C_1=C_2=C:
H(s)\;=\;\frac{K\,s^2}{s^2+(3-K)\,\omega_0\,s+\omega_0^2},
onde
\omega_0 \;=\;\frac{1}{RC}, \quad Q \;=\;\frac{1}{3-K}, \quad K \;=\;1+\frac{R_f}{R_g}.
Para Butterworth de 2ª ordem deseja-se Q=1/\sqrt2\approx0{,}707, o que implica
K \;=\;3-\frac{1}{Q} \;=\;3-\sqrt2 \;\approx\;1{,}586,
o que corresponderia a 20\log_{10}(1{,}586)\approx4{,}0\\ \text{dB}.
Como o enunciado pede 4{,}5\\ \text{dB} K_{\rm req}=10^{4{,}5/20}\approx1{,}67, aceitamos um ligeiro aumento de K e ficamos com
K=1{,}67, \quad Q=\frac{1}{3-1{,}67}\approx0{,}75,
mantendo \omega_0=2\pi\cdot2000\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Escolhemos valores padronizados para C e calculamos R:
C=10\\ \mathrm{nF}, \quad R=\frac{1}{\omega_0\,C} =\frac{1}{2\pi\cdot2000\cdot10\times10^{-9}} \approx7{,}96\\ \mathrm{k\Omega}.
Usamos o valor comercial R_1=R_2=8{,}2\\ \mathrm{k\Omega}.
Para obter K=1{,}67 num amplificador não inversor tomamos
K=1+\frac{R_f}{R_g} \quad\Longrightarrow\quad \frac{R_f}{R_g}=0{,}67.
Escolhemos R_g=10\\ \mathrm{k\Omega} e R_f=6{,}8\\ \mathrm{k\Omega}, que dá \;K=1+6{,}8/10=1{,}68\approx1{,}67.

Passo 4

Resumo dos componentes e do circuito:
• Topologia: Sallen–Key passa-altas não inversora com realimentação unitária e ganho K.
• R 1= R 2=8,2 k \Omega\bullet C 1= C 2=10 nF
• Rg =10 kΩ (resistor entre entrada não inversora e terra do estágio de ganho)
• Rf =6,8 kΩ (resistor de realimentação do op amp para obter K)
Verifica-se que
\omega_0=\frac{1}{R\,C}\approx2\pi\cdot2000, \quad Q=\frac{1}{3-K}\approx0{,}75, \quad 20\log_{10}(K)\approx4{,}5\\ \mathrm{dB}.

Passo 5

Verificação no PSpice:
Monte o amplificador (por exemplo TL081) alimentado em \pm12\\ \mathrm V, com o bloco Sallen–Key formado por R1, R2, C1, C2 e ganho ajustado por Rf–Rg. Em seguida faça análise de varredura AC (de 10 Hz a 100 kHz). No diagrama de Bode deve-se observar:
  • Ganho de quase +4{,}5\\ \mathrm{dB} acima de f_c.
  • Ponto de corte em torno de 2000\\ \mathrm{Hz} (–3 dB em relação ao ganho de banda).
  • Resposta próxima de Butterworth (plana na banda e sem picos marcados).

Resposta

R 1= R 2=8,2
C 1= C 2=10 nF
Rg =10
Rf =6,8

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