(a) Projete um filtro passa-baixas com frequência de corte de 1450 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. (b) Esboce o diagrama Bode de amplitude e de fase para seu projeto. (c) Verifique o desempenho de seu filtro com uma simulação adequada.

Passo 1

O enunciado pede (a) projetar um filtro passa-baixas com frequência de corte \omega_{c}=1450\\ \mathrm{rad/s}, (b) esboçar os diagramas de Bode de amplitude e de fase e (c) verificar o desempenho por simulação. O conteúdo é projeto de filtro RC de primeira ordem, análise de Bode e simulação AC.

Passo 2

Para um filtro RC de primeira ordem vale
\omega_{c}=\frac{1}{RC}.
Queremos \omega_{c}=1450, logo
RC=\frac{1}{1450}\approx6{,}896\times10^{-4}\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Escolhemos valores práticos: por exemplo
R=10\\ \mathrm{k}\Omega,\quad C=\frac{6{,}896\times10^{-4}}{10\times10^{3}}\\ \mathrm{F}=6{,}896\times10^{-8}\\ \mathrm{F}\approx69\\ \mathrm{nF}.

Passo 4

A função de transferência é
H(s)=\frac{1}{1+sRC}=\frac{1}{1+s/\omega_{c}}.
A magnitude em dB e a fase são dadas por
20\log_{10}\bigl|H(j\omega)\bigr| =20\log_{10}\frac{1}{\sqrt{1+(\omega/\omega_{c})^{2}}}
e
\varphi(\omega)=-\arctan\bigl(\omega/\omega_{c}\bigr).

Passo 5

Diagrama de Bode qualitativo:
– Amplitude: 0 dB em \omega\ll\omega_{c}, – 3 dB em \omega=\omega_{c}, e queda de – 20 dB/década para \omega>\omega_{c}.
– Fase: 0\circ em \omega\ll\omega_{c}, – 45\circ em \omega=\omega_{c}, tendendo a – 90\circ em \omega\gg\omega_{c}.

Passo 6

Para simular, monte o circuito RC numa ferramenta como LTspice ou PSpice e faça AC sweep de 10^2 a 10^6\\ \mathrm{rad/s}. Verifique no gráfico de magnitude o ponto – 3 dB próximo de \omega=1450 e no gráfico de fase o – 45\circ nessa frequência. Também pode-se aplicar um sinal senoidal em torno de \omega_{c} e medir atenuação e defasagem.

Resposta

R = 10\\ \mathrm{k}\Omega, C \approx 69\\ \mathrm{nF},
H(s)=\frac{1}{1+ \displaystyle s/(1450)}
Diagrama de Bode: 0 dB em baixas, – 3 dB em \omega=1450, – 20 dB/déc em alta; fase de 0\circ a – 90\circ (– 45\circ em 1450).
Simulação AC confirma atenuação de – 3 dB e defasagem de – 45\circ em \omega_{c}.

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