Determine o diagrama de Bode para amplitude das seguintes funções de transferência, comparando-o com o resultado previsto usando o MATLAB:
\left(\frac{\mathbf{s}}{4}\right)^{2}+0,1\left(\frac{\mathbf{s}}{4}\right)+1.

Passo 1

O enunciado pede o diagrama de Bode de amplitude da função
H(s)=\Bigl(\tfrac{s}{4}\Bigr)^{2}+0,1\,\Bigl(\tfrac{s}{4}\Bigr)+1.
Este é um polinômio de segunda ordem (zeros complexos) e vamos usar a forma padrão de sistemas de segunda ordem e o esboço de assíntotas para obter o Bode de módulo.

Passo 2

Reescrevemos H(s) na forma
H(s)=\Bigl(\tfrac{s}{\omega_{n}}\Bigr)^{2}+2\zeta\,\Bigl(\tfrac{s}{\omega_{n}}\Bigr)+1
onde, comparando com os coeficientes originais, temos
\omega_{n}=4\quad\text{e}\quad 2\zeta=0,1\;\Longrightarrow\;\zeta=0,05.

Passo 3

A expressão exata do módulo é
|H(j\omega)|=\sqrt{\bigl(1-(\tfrac{\omega}{4})^{2}\bigr)^{2}+\bigl(2\zeta\,\tfrac{\omega}{4}\bigr)^{2}}.
Nos regimes extremos:
  • Para \omega\ll4, |H|\approx1 \Rightarrow 0 dB.
  • Para \omega\gg4, |H|\approx(\tfrac{\omega}{4})^{2}, ou seja, inclinação de +40 dB/década.

Passo 4

O pico de ressonância e seu ganho valem
\omega_{r}=\omega_{n}\sqrt{1-2\zeta^{2}}\approx4\sqrt{1-2\cdot0,05^{2}}\approx3,99\text{ rad/s},
M_{r}=\frac{1}{2\zeta\,\sqrt{1-\zeta^{2}}}\approx\frac{1}{2\cdot0,05\sqrt{1-0,05^{2}}}\approx10,02\;\bigl(\approx20,02\text{ dB}\bigr).

Passo 5

Esboço das assíntotas de módulo:
– Para \omega<4 rad/s: reta horizontal em 0 dB.
– Em torno de \omega\approx4 rad/s: pico de \approx 20 dB.
– Para \omega>4 rad/s: reta com +40 dB/déc.

Passo 6

O comando bode(H) no MATLAB confirma este esboço: ganho unitário até \approx 4 rad/s, pico de \approx 20 dB em \approx 4 rad/s e inclinação de +40 dB/década em altas frequências.

Resposta

O diagrama de Bode de amplitude é:
0 dB (ganho unitário) até cerca de 4 rad/s;
– pico de ressonância \approx 20 dB em \approx 4 rad/s;
– e, a partir daí, inclinação de +40 dB/déc.
Esse resultado coincide com o plot obtido no MATLAB.

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