3-Um eletrodoméstico de \ 330 será pago dando-se uma entrada deá15 % mais oito prestações mensais. A juros efetivos deçõ5 %$ a.m., calcular o valor das prestações na hipótese de serem:
a) postecipadas; b) antecipadas.

Passo 1

O enunciado dá o preço do eletrodoméstico e a forma de pagamento e pede o valor das prestações nas duas hipóteses. Dados e perguntas (coloquei tudo em forma bem direta para não se perder):
  • Preço à vista: \$330.
  • Entrada: 15\% do preço.
  • Restante será pago em 8 prestações mensais.
  • Taxa de juros efetiva mensal: 5\%.
    Perguntas:
    a) Calcular o valor da prestação se as prestações forem postecipadas (isto é, pagas ao final de cada mês).
    b) Calcular o valor da prestação se as prestações forem antecipadas (isto é, pagas no início de cada mês).

Passo 2

Calcular quanto é a entrada e quanto fica financiado (essas contas são essenciais antes de usar fórmulas de anuidades).
  • Entrada =15\% de \$330:
\text{Entrada} = 0{,}15 \times 330 = 49{,}5
  • Valor a ser financiado (PV das prestações) é o preço menos a entrada:
\text{PV} = 330 - 49{,}5 = 280{,}5.
Esse \text{PV}=280{,}5 é o valor atual das 8 prestações que vamos determinar.

Passo 3

Conceito e fórmula para anuidades postecipadas (anuidades imediatas).
Se as prestações são pagas ao final de cada período (postecipadas), o valor presente de uma série de n prestações iguais \,X a uma taxa de juros i por período é:
\text{PV} = X \cdot a_{\overline{n}|i}
onde
a_{\overline{n}|i} = \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Aqui:
  • \text{PV} é o valor presente (o que financiamos), já calculado: \text{PV}=280{,}5.
  • X é o valor da prestação que queremos achar.
  • i é a taxa por período ( i=0{,}05 no nosso caso).
  • n é o número de prestações ( n=8).

Passo 4

Calcular os termos numéricos necessários: (1+i)^n e seu inverso (1+i)^{-n}. Vamos calcular passo a passo com a base 1{,}05:
(1{,}05)^2 = 1{,}1025
(1{,}05)^3 = 1{,}1025\times1{,}05 = 1{,}157625
(1{,}05)^4 = 1{,}157625\times1{,}05 = 1{,}21550625
(1{,}05)^5 = 1{,}21550625\times1{,}05 = 1{,}2762815625
(1{,}05)^6 = 1{,}2762815625\times1{,}05 = 1{,}340095640625
(1{,}05)^7 = 1{,}340095640625\times1{,}05 = 1{,}40710042265625
(1{,}05)^8 = 1{,}40710042265625\times1{,}05 = 1{,}4774554437890625
Agora o inverso:
(1{,}05)^{-8} = \frac{1}{1{,}4774554437890625} \approx 0{,}676839362.

Passo 5

Calcular o fator \,a_{\overline{8}|0{,}05} usando a fórmula:
a_{\overline{8}|0{,}05} = \frac{1-(1{,}05)^{-8}}{0{,}05} = \frac{1-0{,}676839362}{0{,}05} = \frac{0{,}323160638}{0{,}05}.
Fazendo a divisão:
a_{\overline{8}|0{,}05} \approx 6{,}46321276.

Passo 6

Encontrar a prestação postecipada X_{\text{post}} resolvendo \text{PV} = X \cdot a_{\overline{8}|0{,}05}:
X_{\text{post}} = \frac{\text{PV}}{a_{\overline{8}|0{,}05}} = \frac{280{,}5}{6{,}46321276} \approx 43{,}40.
Conferência rápida (multiplicação aproximada): 6{,}46321276\times 43{,}40 \approx 280{,}50, que é a PV (pequena diferença por arredondamento), logo a prestação postecipada é \approx\$43{,}40.

Passo 7

Anuidades antecipadas (pagamento no início do período). Conceito e relação com a anuidade postecipada:
  • Se os pagamentos são antecipados (início de cada mês), cada pagamento ocorre uma unidade de tempo antes em relação ao caso postecipado. O valor presente de uma anuidade antecipada de prestações X é
\text{PV} = X \cdot \ddot{a}_{\overline{n}|i},
onde
\ddot{a}_{\overline{n}|i} = (1+i)\,a_{\overline{n}|i}.
Isto significa, de forma prática, que a prestação antecipada X_{\text{ant}} se relaciona com a postecipada por:
X_{\text{ant}} = \frac{X_{\text{post}}}{1+i}.
Explicação intuitiva: como cada parcela da anuidade antecipada é paga um período antes, cada parcela “vale mais” hoje, então para obter a mesma PV as parcelas podem ser menores; o fator é simplesmente dividir por 1+i.

Passo 8

Calcular a prestação antecipada X_{\text{ant}} usando a relação com X_{\text{post}}:
X_{\text{ant}} = \frac{X_{\text{post}}}{1{,}05} \approx \frac{43{,}40}{1{,}05} \approx 41{,}33.
Verificação alternativa: poderíamos também usar diretamente \text{PV}=X_{\text{ant}}\cdot(1{,}05)\,a_{\overline{8}|0{,}05} e obter o mesmo resultado.

Resposta

a) \$43{,}40
b) \$41{,}33

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