3-Um eletrodoméstico de \ 330será pago dando-se uma entrada de15 %mais oito prestações mensais. A juros efetivos de5 %$ a.m., calcular o valor das prestações na hipótese de serem:
a) postecipadas; b) antecipadas.
Passo 1
O enunciado dá o preço do eletrodoméstico e a forma de pagamento e pede o valor das prestações nas duas hipóteses. Dados e perguntas (coloquei tudo em forma bem direta para não se perder):
Preço à vista: \$330.
Entrada: 15\% do preço.
Restante será pago em 8 prestações mensais.
Taxa de juros efetiva mensal: 5\%.
Perguntas:
a) Calcular o valor da prestação se as prestações forem postecipadas (isto é, pagas ao final de cada mês).
b) Calcular o valor da prestação se as prestações forem antecipadas (isto é, pagas no início de cada mês).
Passo 2
Calcular quanto é a entrada e quanto fica financiado (essas contas são essenciais antes de usar fórmulas de anuidades).
Entrada =15\% de \$330:
\text{Entrada} = 0{,}15 \times 330 = 49{,}5
Valor a ser financiado (PV das prestações) é o preço menos a entrada:
\text{PV} = 330 - 49{,}5 = 280{,}5.
Esse \text{PV}=280{,}5 é o valor atual das 8 prestações que vamos determinar.
Passo 3
Conceito e fórmula para anuidades postecipadas (anuidades imediatas).
Se as prestações são pagas ao final de cada período (postecipadas), o valor presente de uma série de n prestações iguais \,X a uma taxa de juros i por período é:
\text{PV} = X \cdot a_{\overline{n}|i}
onde
a_{\overline{n}|i} = \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Aqui:
\text{PV} é o valor presente (o que financiamos), já calculado: \text{PV}=280{,}5.
X é o valor da prestação que queremos achar.
i é a taxa por período (i=0{,}05 no nosso caso).
n é o número de prestações (n=8).
Passo 4
Calcular os termos numéricos necessários: (1+i)^n e seu inverso (1+i)^{-n}. Vamos calcular passo a passo com a base 1{,}05:
Conferência rápida (multiplicação aproximada): 6{,}46321276\times 43{,}40 \approx 280{,}50, que é a PV (pequena diferença por arredondamento), logo a prestação postecipada é \approx\$43{,}40.
Passo 7
Anuidades antecipadas (pagamento no início do período). Conceito e relação com a anuidade postecipada:
Se os pagamentos são antecipados (início de cada mês), cada pagamento ocorre uma unidade de tempo antes em relação ao caso postecipado. O valor presente de uma anuidade antecipada de prestações X é
Isto significa, de forma prática, que a prestação antecipada X_{\text{ant}} se relaciona com a postecipada por:
X_{\text{ant}} = \frac{X_{\text{post}}}{1+i}.
Explicação intuitiva: como cada parcela da anuidade antecipada é paga um período antes, cada parcela “vale mais” hoje, então para obter a mesma PV as parcelas podem ser menores; o fator é simplesmente dividir por 1+i.
Passo 8
Calcular a prestação antecipada X_{\text{ant}} usando a relação com X_{\text{post}}: