O seguro de um automóvel pode ser pago à vista por \ 800 ou em oito prestações mensais deçõ$128,83$. Considerando que está sendo cobrada uma taxa de juros nominal anualizada, calculá-la nas seguintes hipóteses sobre a capitalização dos juros:
b) semestral;

Passo 1

O enunciado diz que o seguro pode ser pago à vista por \$800 ou em oito prestações mensais de \$128{,}83. A pergunta é: qual é a taxa de juros nominal anual (com capitalização semestral) que faz com que as duas alternativas tenham o mesmo valor presente? Dados relevantes:
\text{valor à vista} = 800,à
\text{pagamento mensal} = 128{,}83,
\text{número de prestações} = 8.úçõ
Não há mais informações; devemos igualar o valor presente das oito prestações ao pagamento à vista e, a partir da taxa mensal obtida, transformar para a taxa nominal anual com capitalização semestral.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinho):
  • Se a taxa de juros por período (aqui: por mês) é \,i, o valor presente de uma anuidade de n pagamentos iguais R pagas no final de cada período é
\text{PV} = R\cdot a_{\overline{n}|i} = R\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Por que isso? Porque a soma dos valores descontados é uma soma geométrica:
\text{PV} = R\left[(1+i)^{-1}+(1+i)^{-2}+\cdots+(1+i)^{-n}\right],
essa soma tem fórmula fechada que dá \dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}. Aqui R é o valor da prestação, n é o número de prestações e i é a taxa por período (mês).
  • A taxa nominal anual com capitalização semestral, que chamo de j (nominal), está relacionada com a taxa efetiva semestral por
\text{taxa efetiva por semestre} = \frac{j}{2}.
Se a taxa efetiva mensal é i, então como há 6 meses em um semestre, valem as relações
(1+i)^6 = 1+\frac{j}{2}.
Logo, depois de achar i (mensal), recuperamos j por
j = 2\bigl((1+i)^6-1\bigr).

Passo 3

Escrevemos a igualdade de valor presente pedida:
800 = 128{,}83\cdot\frac{1-(1+i)^{-8}}{i},
onde i é a taxa de juros mensal efetiva que queremos encontrar. Vou chamar de
a = \frac{800}{128{,}83}
para simplificar os cálculos numéricos; então precisamos resolver
\frac{1-(1+i)^{-8}}{i} = a.

Passo 4

Calculemos a:
a=\frac{800}{128{,}83}\approx 6{,}2098.
Então a equação é
\frac{1-(1+i)^{-8}}{i} \approx 6{,}2098.
Essa é uma equação não linear em i. Vamos achar i por tentativa/ajuste numérico (método típico na prova: testar valores e interpolar). Experimentemos i=0{,}06 (ou seja 6\% ao mês) e calculemos o lado esquerdo.
Calculemos passo a passo para i=0{,}06:
(1+i)^8 = (1{,}06)^8.
Podemos usar potências conhecidas ou calcular sucessivamente:
(1{,}06)^2=1{,}1236,\quad (1{,}06)^4=(1{,}1236)^2\approx 1{,}26247696,
(1{,}06)^8\approx (1{,}26247696)^2 \approx 1{,}593848.
Agora o fator de anuidade:
\frac{1-(1+i)^{-8}}{i}=\frac{1-\dfrac{1}{1{,}593848}}{0{,}06} =\frac{1-0{,}627409}{0{,}06} =\frac{0{,}372591}{0{,}06}\approx 6{,}20985.
Compare com a\approx 6{,}2098: são praticamente iguais (diferença pequena, da ordem de 10^{-5} no fator). Portanto i\approx 0{,}06 (ou seja 6\% ao mês) satisfaz a equação com precisão prática para uma prova sem calculadora.

Passo 5

Agora convertemos a taxa mensal i em taxa nominal anual com capitalização semestral j. Recordando a relação do passo 2:
1+\frac{j}{2}=(1+i)^6.
Com i\approx 0{,}06,
(1{,}06)^3\approx 1{,}191016,\qquad (1{,}06)^6\approx (1{,}191016)^2\approx 1{,}418519.
Então
j = 2\bigl((1{,}06)^6-1\bigr)\approx 2(1{,}418519-1)=2(0{,}418519)\approx 0{,}837038.
Convertendo para porcentagem:
j\approx 83{,}7038\%\\ \text{ao ano (nominal, capitalização semestral)}.çã
Arredondando de forma prática para duas casas decimais: j\approx 83{,}70\% a.a. nominal com capitalização semestral.

Passo 6

Resumo intuitivo: as prestações mensais são bem maiores que 800/8=100, então a taxa mensal é elevada (cerca de 6\% ao mês). Transformando essa taxa mensal em taxa nominal anual com capitalização semestral, obtemos aproximadamente 83{,}70\% ao ano (nominal, semestral). Isso é o valor que o enunciado pedia.

Resposta

\;j\approx 83{,}70\%\\ \text{a.a. (nominal, capitalização semestral)}çã

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