Eletromagnetismo Clássico I - Lista de Exercícios II
Prof Rafael Bernar, Março de 2025
Calcule o campo elétrico devido a duas cargas, q e -q, separadas por uma distância d. Encontre o campo no eixo y para y gg d.
Escreva a densidade volumétrica de carga para este sistema e calcule o potencial por meio da expansão multipolar até ordem O(1 / r^2). O que acontece se as partículas possuírem a mesma carga q ?

Passo 1

Beleza, o enunciado manda calcular o campo elétrico gerado por duas cargas +q e –q separadas por d, achar esse campo no eixo y quando y ≫ d, escrever a densidade de carga ρ(𝐫) desse par e depois obter o potencial via expansão multipolar até ordem O(1/r²). Por fim, perguntar “e se as cargas fossem as duas +q?”.
Conteúdo: eletrostática (lei de Coulomb), delta de Dirac para densidade pontual e expansão multipolar (monopolo, dipolo…). A gente vai precisar:
  • Lei de Coulomb pra campo de ponto.
  • Propriedades da função δ(𝐫).
  • Série de Taylor 1/|𝐫±𝐚| pra r≫|a| (expansão em multipolos).

Passo 2

Campo no eixo y (posição 𝐫=(0,y)) para y≫d
  1. As cargas estão em ±(d/2,0), ou seja 𝐫₁=(d/2,0), 𝐫₂=(–d/2,0).
  2. Pela lei de Coulomb, o campo de cada carga é
    E₁ = (q/(4πε₀|𝐑₁|³))𝐑₁, E₂ = (–q/(4πε₀|𝐑₂|³))𝐑₂,
    onde 𝐑₁ = (0,y)–(d/2,0) = (–d/2, y), e 𝐑₂ = (0,y)–(–d/2,0) = (d/2, y).
  3. Soma E = E₁+E₂. No eixo y, as componentes verticais se cancelam (mesma magnitude, sinais opostos), sobram só as horizontais:
    Eₓ = –q·(d/2)/(4πε₀|𝐑₁|³) – q·(d/2)/(4πε₀|𝐑₂|³) (ambas pra –x).
  4. Pra y≫d, |𝐑₁|≈|𝐑₂|≈y, então
    Eₓ ≈ – q·(d/2)/(4πε₀y³) – q·(d/2)/(4πε₀y³) = – qd/(4πε₀y³).
  5. Logo
    E(0,y) ≈ – (qd)/(4πε₀ y³) x̂.
    Teoria básica: quando y≫d, o par +q,–q se comporta como um dipolo de momento p = q·d e o campo no equador de um dipolo é E = –p/(4πε₀r³) na direção −p̂.

Passo 3

Densidade volumétrica de carga ρ(𝐫)
Como são cargas pontuais, a gente usa delta de Dirac:
ρ(𝐫) = q δ³(𝐫–(d/2)x̂) – q δ³(𝐫+(d/2)x̂).
Explicação: δ³ “concentra” toda a carga na posição exata do ponto.

Passo 4

Potencial via expansão multipolar até O(1/r²)
  1. Potencial exato:
    φ(𝐫) = (1/4πε₀) [ q/|𝐫–(d/2)x̂| – q/|𝐫+(d/2)x̂| ].
  2. Pra r≫d a gente usa a série
    1/|𝐫±𝐚| = 1/r ∑_{ℓ=0}∞ (±1)ℓ (aℓ/rℓ) P_ℓ(cosθ),
    onde a=d/2 e θ é o ângulo entre 𝐫 e x̂.
  3. Plugando só até ℓ=1 (monopolo ℓ=0 mais dipolo ℓ=1):
    φ ≈ (1/4πε₀)[ (q–q)/r + (q(+1)·(d/2)cosθ – q(–1)·(d/2)cosθ)/r² ]
    = (1/4πε₀)·(q·d·cosθ)/(r²).
  4. Como p = qd, fica
    φ(𝐫) ≈ (1/4πε₀)·(p cosθ)/r² + O(1/r³).
    Monopolo some porque +q–q=0; dipolo domina e decai como 1/r².

Passo 5

E se as partículas fossem ambas +q?
– Monopolo não cancela: Q_total = +2q → φ₀≈(1/4πε₀)(2q)/r (termo O(1/r)).
– Momento dipolar p = ∑ q_i 𝐫_i = q(d/2)x̂ + q(–d/2)x̂ = 0, então não há termo 1/r².
– O próximo é quadrupolar (∼1/r³).

Resposta

  1. E no eixo y para y≫d: E(0,y) ≈ –(qd)/(4πε₀y³) x̂.
  2. ρ(𝐫) = q δ³(𝐫–(d/2)x̂) – q δ³(𝐫+(d/2)x̂).
  3. φ(𝐫) ≈ (1/4πε₀)(p cosθ)/r² + O(1/r³), com p = qd.
  4. Se fossem +q e +q: φ ≈ (1/4πε₀)(2q)/r + O(1/r³) (sem termo dipolar).

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