Eletromagnetismo Clássico I - Lista de Exercícios II
Prof Rafael Bernar, Março de 2025
Calcule o potencial devido a uma casca esférica de carga, cujos raios interno e externo são b e
, respectivamente. Considere a densidade volumétrica de carga como uniforme. Note que há três regiões distintas a serem consideradas:
e
.
Prof Rafael Bernar, Março de 2025
Calcule o potencial devido a uma casca esférica de carga, cujos raios interno e externo são b e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Eletromagnetismo Clássico. O que a gente precisa é calcular o potencial elétrico devido a uma casca esférica carregada, que tem um raio interno $ b $ e um raio externo $ a $. A carga está distribuída de forma uniforme no volume da casca. Para resolver isso, vamos considerar três regiões diferentes: quando a distância $ r $ do centro é menor que $ b $ (ou seja, $ r < b $), quando está entre $ b $ e $ a $ ( $ b < r < a $), e quando é maior que $ a $ ( $ r > a $). Vamos precisar usar a Lei de Gauss e a expressão do potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a densidade volumétrica de carga, que é a quantidade de carga por volume. Como a carga está uniformemente distribuída, a densidade $ \rho $ é dada por:
Aqui, $ Q $ é a carga total na casca esférica, e $ \frac{4}{3}\pi(a^3 - b^3) $ é o volume da casca.
Passo 3
Agora, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico $ \vec{E} $ em cada uma das três regiões.
Para $ r < b $:
Dentro do raio interno $ b $, não há carga envolvida, então pelo Teorema de Gauss, o campo elétrico é zero.
Dentro do raio interno $ b $, não há carga envolvida, então pelo Teorema de Gauss, o campo elétrico é zero.
Passo 4
Para $ b < r < a $:
Aqui, estamos dentro da casca, mas fora do raio interno $ b $. A carga efetivamente envolvida dentro de uma esfera de raio $ r $ é proporcional ao volume interno:
Aqui, estamos dentro da casca, mas fora do raio interno $ b $. A carga efetivamente envolvida dentro de uma esfera de raio $ r $ é proporcional ao volume interno:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para $ E $:
Passo 5
Para $ r > a $:
Fora do raio externo $ a $, a carga total está completamente envolvida. Então, o campo elétrico é como se toda a carga estivesse concentrada no centro:
Fora do raio externo $ a $, a carga total está completamente envolvida. Então, o campo elétrico é como se toda a carga estivesse concentrada no centro:
Resolvendo para $ E $:
Passo 6
Agora que temos o campo elétrico em cada região, vamos calcular o potencial elétrico $ V® $. Lembrando que:
Vamos calcular em cada região:
Para $ r > a $:
Para $ b < r < a $:
Integrando o campo elétrico encontrado:
Após a integração, simplificamos para obter a expressão do potencial.
Para $ r < b $:
Como o campo é zero, o potencial é constante e igual ao potencial em $ r = b $.
Resposta
O potencial elétrico $ V® $ devido à casca esférica de carga é dado por:
Simplificando a última expressão:
Então, o potencial é contínuo nas três regiões conforme as expressões acima.