Eletromagnetismo Clássico I - Lista de Exercícios II
Prof Rafael Bernar, Março de 2025
Calcule o potencial devido a uma casca esférica de carga, cujos raios interno e externo são b e a, respectivamente. Considere a densidade volumétrica de carga como uniforme. Note que há três regiões distintas a serem consideradas: r e r>a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Eletromagnetismo Clássico. O que a gente precisa é calcular o potencial elétrico devido a uma casca esférica carregada, que tem um raio interno $ b $ e um raio externo $ a $. A carga está distribuída de forma uniforme no volume da casca. Para resolver isso, vamos considerar três regiões diferentes: quando a distância $ r $ do centro é menor que $ b $ (ou seja, $ r < b $), quando está entre $ b $ e $ a $ ( $ b < r < a $), e quando é maior que $ a $ ( $ r > a $). Vamos precisar usar a Lei de Gauss e a expressão do potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a densidade volumétrica de carga, que é a quantidade de carga por volume. Como a carga está uniformemente distribuída, a densidade $ \rho $ é dada por:
rho
Aqui, $ Q $ é a carga total na casca esférica, e $ \frac{4}{3}\pi(a^3 - b^3) $ é o volume da casca.

Passo 3

Agora, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico $ \vec{E} $ em cada uma das três regiões.
Para $ r < b $:
Dentro do raio interno $ b $, não há carga envolvida, então pelo Teorema de Gauss, o campo elétrico é zero.
E

Passo 4

Para $ b < r < a $:
Aqui, estamos dentro da casca, mas fora do raio interno $ b $. A carga efetivamente envolvida dentro de uma esfera de raio $ r $ é proporcional ao volume interno:
b < r < a
Aplicando a Lei de Gauss:
b
Resolvendo para $ E $:
r

Passo 5

Para $ r > a $:
Fora do raio externo $ a $, a carga total está completamente envolvida. Então, o campo elétrico é como se toda a carga estivesse concentrada no centro:
r > a
Resolvendo para $ E $:
a

Passo 6

Agora que temos o campo elétrico em cada região, vamos calcular o potencial elétrico $ V® $. Lembrando que:
V(r)
Vamos calcular em cada região:
Para $ r > a $:
V(r) = - integralinfty^r E cdot dl
Para $ b < r < a $:
Integrando o campo elétrico encontrado:
r > a
Após a integração, simplificamos para obter a expressão do potencial.
Para $ r < b $:
Como o campo é zero, o potencial é constante e igual ao potencial em $ r = b $.

Resposta

O potencial elétrico $ V® $ devido à casca esférica de carga é dado por:
V(r)
Simplificando a última expressão:
V(r) = Q4pi varepsilon0 r, & r > a Q4pi varepsilon0 a + rho3varepsilon0(r^22 - b^3r), & b < r < a Q4pi varepsilon0 a + rho3varepsilon0(b^22 - b^3b), & r < b
Então, o potencial é contínuo nas três regiões conforme as expressões acima.

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