a) Use a lei de Gauss para determinar o campo eléctrico a uma distância r do fio (coordenada cilíndrica).
b) Considere agora que o fio tem uma secção circular não desprezável, de raio R e uma densidade volúmica de carga uniforme rho. Use de novo a lei de Gauss para determinar o campo eléctrico.

Passo 1

Beleza, o exercício é sobre usar a lei de Gauss pra achar o campo elétrico de um fio infinito com duas situações:
a) fio de seção desprezível (ou seja, toda a carga está “linha” com densidade linear λ).
b) fio com raio R e densidade volumétrica uniforme ρ.
O conteúdo envolvido é eletrostática, mais precisamente a lei de Gauss:
.
A gente vai precisar entender simetria cilíndrica e como escolher uma superfície gaussiana (um cilindro coaxial com o fio).

Passo 2

Primeiro, parte (a). Imagina um fio infinito e bem fino com densidade linear de carga . Pela simetria, o campo só aponta pra fora, na direção radial, e só depende da distância . A gente escolhe como superfície gaussiana um cilindro de raio e comprimento .

Passo 3

  1. Fluxo: Phi = E(r),l(2pi r Lr) . Só a “lateral” do cilindro contribui, porque nas tampas o E(r),2pi r L ;=;lambda Lvarepsilon0 Longrightarrow E(r) = lambda2pi varepsilon0,r é paralelo à superfície. Então
  1. Carga envolvida: .
  2. Lei de Gauss:

Passo 4

Agora parte (b): o fio tem raio e densidade volumétrica . Ainda vale simetria cilíndrica. Vamos separar em dois casos:
  • (dentro do fio)
  • (fora do fio)

Passo 5

Caso Qrm encl = rho,(pi r^2 L) . Escolhe cilindro de raio E(r),2pi r L = rho,pi r^2 Lvarepsilon0 ;Longrightarrow; E(r) = rho,r2varepsilon0 , comprimento .
  1. Fluxo: .
  2. Carga envolvida: volume é , então
  1. Gauss:

Passo 6

Caso Qrm encl = rho,(pi R^2 L) = lambdarm eff,L, . Agora o cilindro de raio E(r),2pi r L = rho,pi R^2 Lvarepsilon0 ;Longrightarrow; E(r) = rho,pi R^22pivarepsilon0,r = rho,R^22varepsilon0,r envolve toda a carga do fio, que é
onde . Então

Resposta

a) Para fio infinitamente fino com densidade linear boxedE(r) = lambda2pivarepsilon0,r,hat r :
boxed% E(r)= dfracrho,r2varepsilon0,hat r, & r < R,[6pt] dfracrho,R^22varepsilon0,r,hat r, & r > R
b) Para fio de raio e densidade volumétrica :

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