a) Use a lei de Gauss para determinar o campo eléctrico a uma distância
do fio (coordenada cilíndrica).
b) Considere agora que o fio tem uma secção circular não desprezável, de raio
e uma densidade volúmica de carga uniforme
. Use de novo a lei de Gauss para determinar o campo eléctrico.
b) Considere agora que o fio tem uma secção circular não desprezável, de raio
Passo 1
Beleza, o exercício é sobre usar a lei de Gauss pra achar o campo elétrico de um fio infinito com duas situações:
a) fio de seção desprezível (ou seja, toda a carga está “linha” com densidade linear λ).
b) fio com raio R e densidade volumétrica uniforme ρ.
O conteúdo envolvido é eletrostática, mais precisamente a lei de Gauss:
.
A gente vai precisar entender simetria cilíndrica e como escolher uma superfície gaussiana (um cilindro coaxial com o fio).
a) fio de seção desprezível (ou seja, toda a carga está “linha” com densidade linear λ).
b) fio com raio R e densidade volumétrica uniforme ρ.
O conteúdo envolvido é eletrostática, mais precisamente a lei de Gauss:
A gente vai precisar entender simetria cilíndrica e como escolher uma superfície gaussiana (um cilindro coaxial com o fio).
Passo 2
Primeiro, parte (a). Imagina um fio infinito e bem fino com densidade linear de carga
. Pela simetria, o campo
só aponta pra fora, na direção radial, e só depende da distância
. A gente escolhe como superfície gaussiana um cilindro de raio
e comprimento
.
Passo 3
- Fluxo:
. Só a “lateral” do cilindro contribui, porque nas tampas o é paralelo à superfície. Então
- Carga envolvida:
. - Lei de Gauss:
Passo 4
Agora parte (b): o fio tem raio
e densidade volumétrica
. Ainda vale simetria cilíndrica. Vamos separar em dois casos:
-
(dentro do fio) -
(fora do fio)
Passo 5
Caso
. Escolhe cilindro de raio
, comprimento
.
- Fluxo:
. - Carga envolvida: volume é
, então
- Gauss:
Passo 6
Caso
. Agora o cilindro de raio
envolve toda a carga do fio, que é
onde
. Então
Resposta
a) Para fio infinitamente fino com densidade linear
:
b) Para fio de raio
e densidade volumétrica
: