O espaço entre dois cilindros coaxiais muito compridos, de raios R1, está carregado com uma densidade volúmica de carga rho=alpha / r. Para pontos muito mais perto do eixo dos cilindros que das suas extremidades, podemos fazer a aproximação de que os cilindros são infinitos.
Determine o campo eléctrico para todos os ponto do espaço em que a aproximação acima mencionada é válida.

Passo 1

Beleza, o exercício diz o seguinte: temos dois cilindros coaxiais (um dentro do outro) de raios rho(r) = alphar e ( ), com uma carga espalhada entre eles que varia como
onde é uma constante e é a distância ao eixo. Como eles são “infinitos” (ou seja, bem longos perto de onde estamos medindo), a gente pode usar simetria cilíndrica e a Lei de Gauss para achar o campo elétrico .
O que vamos usar:
  • Lei de Gauss ( ).
  • Simetria cilíndrica (campo só depende de e aponta radialmente).
  • Cálculo da carga dentro de um cilindro gaussiano de raio .

Passo 2

Definindo um cilindro gaussiano de raio e comprimento :
  1. Fluxo: , porque é perpendicular à lateral e zero nas tampas (campo radial).
  2. Carga envolvida é a integral da densidade no volume de raio interno até o menor entre e .
Vamos separar em casos.

Passo 3

Caso 1: E(r),2pi r L = 0 Longrightarrow E(r)=0 .
  • Entre o eixo e Qrm encl(r) =integralvolume rho,dV =integralR1^ralphar',(2pi r' L),dr' =2pi alpha LintegralR1^rdr' =2pi alpha L,(r - R1) não há carga (o material carregado começa em E(r),2pi r L ;=;Qrm encl(r)varepsilon0 =2pi alpha L,(r - R1)varepsilon0 ).
  • Logo E(r) =alpha,(r-R1)varepsilon0,r e, pela Lei de Gauss,
Caso 2: .
  • A carga envolvida é
  • Pela Lei de Gauss: Então

Passo 4

Caso 3: Qrm encl(R2) =2pi alpha L,(R2 - R1) .
  • A gente engole toda a carga até E(r),2pi r L =2pi alpha L,(R2 - R1)varepsilon0 Longrightarrow E(r) =alpha,(R2 - R1)varepsilon0,r :
  • Pela Lei de Gauss em :

Resposta

O campo elétrico radial E(r)= 0, & r < R1,[6pt] alpha,(r - R1)varepsilon0,r, & R1 < r < R2,[8pt] alpha,(R2 - R1)varepsilon0,r, & r > R2 é:

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