O espaço entre dois cilindros coaxiais muito compridos, de raios
, está carregado com uma densidade volúmica de carga
. Para pontos muito mais perto do eixo dos cilindros que das suas extremidades, podemos fazer a aproximação de que os cilindros são infinitos.
Determine o campo eléctrico para todos os ponto do espaço em que a aproximação acima mencionada é válida.
Determine o campo eléctrico para todos os ponto do espaço em que a aproximação acima mencionada é válida.
Passo 1
Beleza, o exercício diz o seguinte: temos dois cilindros coaxiais (um dentro do outro) de raios
e
(
), com uma carga espalhada entre eles que varia como
onde
é uma constante e
é a distância ao eixo. Como eles são “infinitos” (ou seja, bem longos perto de onde estamos medindo), a gente pode usar simetria cilíndrica e a Lei de Gauss para achar o campo elétrico
.
O que vamos usar:
- Lei de Gauss (
). - Simetria cilíndrica (campo só depende de
e aponta radialmente). - Cálculo da carga dentro de um cilindro gaussiano de raio
.
Passo 2
Definindo um cilindro gaussiano de raio
e comprimento
:
- Fluxo:
, porque é perpendicular à lateral e zero nas tampas (campo radial). - Carga envolvida
é a integral da densidade no volume de raio interno até o menor entre e .
Vamos separar em casos.
Passo 3
Caso 1:
.
- Entre o eixo e
não há carga (o material carregado começa em ). - Logo
e, pela Lei de Gauss,
Caso 2:
.
- A carga envolvida é
- Pela Lei de Gauss:
Então
Passo 4
Caso 3:
.
- A gente engole toda a carga até
: - Pela Lei de Gauss em
:
Resposta
O campo elétrico radial
é: