Uma placa quadrada, com 2 m de lado, com as arestas alinhadas segundo os eixos x e y e com um vértice na origem, tem uma densidade superficial de carga dada por sigma=(2-y) Cm^-2. Calcule a carga total da placa.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: temos uma placa quadrada de lado 2 m, alinhada aos eixos x e y, com um vértice na origem. A densidade superficial de carga varia com y e é dada por
(em C/m²).
O que cai aqui é eletrostática básica e cálculo de integrais duplas: a gente vai usar que a carga total é a integral da densidade sobre a área da placa, e que, no plano xy, o elemento de área é .

Passo 2

Como densidade superficial dQ = sigma(y),dA é carga por área, um pedacinho de área Q = integral duplaplaca sigma(y),dA = integraly=0^2!integralx=0^2 (2 - y),dx,dy leva uma mini­carga
Então a carga total é

Passo 3

Primeiro, resolvemos a integral interna em integralx=0^2 (2 - y),dx = (2 - y),l[xr]0^2 = (2 - y),(2 - 0) = 2,(2 - y) . Como Q = integraly=0^2 2,(2 - y),dy não depende de , fica
Logo agora

Passo 4

Expande o integrando:
2,(2 - y) = 4 - 2y,
então
Q = integral0^2 (4 - 2y),dy = integral0^2 4,dy ;-; integral0^2 2y,dy
– Para a integral de Q = 8 - 4 = 4 :

– Para a integral de :

Subtraindo:

Resposta

A carga total na placa é

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