Uma placa quadrada, com 2 m de lado, com as arestas alinhadas segundo os eixos
e
com um vértice na origem, tem uma densidade superficial de carga dada por
. Calcule a carga total da placa.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: temos uma placa quadrada de lado 2 m, alinhada aos eixos x e y, com um vértice na origem. A densidade superficial de carga varia com y e é dada por
(em C/m²).
O que cai aqui é eletrostática básica e cálculo de integrais duplas: a gente vai usar que a carga total é a integral da densidade sobre a área da placa, e que, no plano xy, o elemento de área é .
O que cai aqui é eletrostática básica e cálculo de integrais duplas: a gente vai usar que a carga total é a integral da densidade sobre a área da placa, e que, no plano xy, o elemento de área é
Passo 2
Como densidade superficial
é carga por área, um pedacinho de área
leva uma minicarga
Então a carga total é
Passo 3
Primeiro, resolvemos a integral interna em
. Como
não depende de
, fica
Logo agora
Passo 4
Expande o integrando:
então
– Para a integral de
:
– Para a integral de :
Subtraindo:
– Para a integral de
Subtraindo:
Resposta
A carga total na placa é