1. Um elétron ( e=1,60 \times 10^{-19} \mathrm{C} ) é acelerado do repouso por uma ddp de 1.000 V e entra em uma região de campo magnético uniforme B=1 T, ortogonal à sua velocidade inicial. (a) Determine o módulo da velocidade do elétron. (b) Determine o raio e o período da orbita circular. Use m_{e}=9,11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}. Resp: 1,87 \times 10^{7} \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}} ; 0,107 \mathrm{~mm} ; 3,57 \times 10^{-11} \mathrm{~s}

Passo 1

O enunciado diz que um elétron parte do repouso e é acelerado por uma diferença de potencial de 1000,V, ganhando energia cinética, e em seguida entra num campo magnético uniforme de módulo B=1,T, com velocidade perpendicular a B, descrevendo movimento circular. Para resolver, vamos usar:
– Conservação de energia elétrica → cinética ( \tfrac12 m_ev^2=eV).
– Equilíbrio entre força de Lorentz e força centrípeta ( e vB = m_ev^2/r).
– Cálculo do período pela relação T=2\pi m_e/(eB).

Passo 2

Pela conservação da energia elétrica transformada em cinética:
\frac{1}{2}\,m_e\,v^2 \;=\; e\,V
Resolvendo para v:
v \;=\;\sqrt{\frac{2\,e\,V}{m_e}}
Substituindo e=1,60\times10^{-19}\,\mathrm C, V=1000\,\mathrm V e m_e=9,11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}:
v \approx 1,87\times10^{7}\,\mathrm{m/s}.

Passo 3

Na região magnética, a força de Lorentz fornece a força centrípeta:
e\,v\,B = \frac{m_e\,v^2}{r}
Logo, o raio da órbita é
r = \frac{m_e\,v}{e\,B}.
Substituindo m_e, v e B=1,T:
r \approx 1,07\times10^{-4}\,\mathrm m \approx 0,107\,\mathrm{mm}.

Passo 4

O período de rotação pode ser obtido por
T = \frac{2\pi\,m_e}{e\,B}.
Substituindo os valores:
T \approx \frac{2\pi \times 9,11\times10^{-31}}{1,60\times10^{-19}\times1} \approx 3,57\times10^{-11}\,\mathrm s.

Resposta

(a) v = 1,87\times10^{7}\,\mathrm{m/s}.
(b) r = 0,107\,\mathrm{mm};\quad T = 3,57\times10^{-11}\,\mathrm{s}.

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