Um elétron está aprisionado em um poço infinito unidimensional, a energia do estado fundamental é 10,3 eV. Qual é o maior comprimento de onda de um fóton que pode ser emitido por uma transição entre dois estados deste poço?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um elétron preso num poço de potencial infinito unidimensional, e a energia do estado fundamental é 10,3 eV. A pergunta é: qual é o maior comprimento de onda de um fóton que pode ser emitido por uma transição entre dois estados desse poço?
Aqui, estamos falando de mecânica quântica, especificamente dos estados de energia quantizada em um poço de potencial infinito. Vamos precisar usar as fórmulas que relacionam a energia dos estados com o comprimento de onda dos fótons emitidos nas transições entre esses estados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular as energias dos estados em um poço de potencial infinito. A fórmula para a energia do n-ésimo estado é:
onde:
- $ E_n $ é a energia do estado n,
- $ n $ é o número quântico (1 para o estado fundamental),
- $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida,
- $ m $ é a massa do elétron,
- $ L $ é o comprimento do poço.
Sabemos que o estado fundamental ($ n=1 $) tem energia de 10,3 eV.
Passo 3
Agora, para encontrar o maior comprimento de onda possível do fóton emitido, precisamos identificar a menor diferença de energia entre dois estados adjacentes, pois essa diferença corresponde à menor energia do fóton emitido e, consequentemente, ao maior comprimento de onda (já que $ \lambda $ e $ E $ são inversamente proporcionais).
A diferença de energia entre dois estados $ n $ e $ n+1 $ é:
Para a menor diferença, usamos $ n=1 $:
Passo 4
Sabemos que a energia do estado fundamental ($ n=1 $) é:
Vamos usar isso para encontrar $ \Delta E $:
Passo 5
Agora, para encontrar o comprimento de onda $ \lambda $ do fóton, usamos a relação entre energia e comprimento de onda:
Rearranjando para $ \lambda $:
onde:
- $ h $ é a constante de Planck ($ 4,1357 \times 10^{-15} , eV·s $),
- $ c $ é a velocidade da luz ($ 3 \times 10^8 , m/s $),
- $ E $ é a energia do fóton.
Passo 6
Substituindo os valores:
Convertendo para nanômetros (1 m = $ 10^9 $ nm):
Resposta
O maior comprimento de onda do fóton emitido é aproximadamente 402 nm.