A integral no tempo de um torque é denominada impulso angular. A partir da equação
, mostre que o impulso angular resultante é igual à variação da quantidade de movimento angular. Esta relação é análoga à relação entre o impulso linear e a quantidade de movimento linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre torque, impulso angular e quantidade de movimento angular. A gente precisa mostrar que o impulso angular é igual à variação da quantidade de movimento angular, de forma parecida com o que acontece no impulso linear e na quantidade de movimento linear. Para resolver isso, vamos usar a relação entre torque e momento angular e fazer umas integrações básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que torque (
) é a medida da força que pode causar rotação em um objeto. Matematicamente, a relação entre torque e momento angular (
) é dada por:
Isso significa que o torque é a taxa de variação do momento angular em relação ao tempo.
Passo 3
Agora, o impulso angular é definido como a integral do torque ao longo do tempo. Vamos chamar o impulso angular de
:
Substituindo a expressão do torque na equação acima, temos:
Aqui, a integral do derivado de
em relação ao tempo dá simplesmente a variação de
.
Passo 4
Portanto, ao resolver a integral, chegamos a:
Isso mostra que o impulso angular
é igual à variação da quantidade de movimento angular
.
Resposta
O impulso angular resultante é igual à variação da quantidade de movimento angular, ou seja: