Um elétron está aprisionado em um poço infinito unidimensional, a energia do estado fundamental é
. Qual é o maior comprimento de onda de um fóton que pode ser emitido por uma transição entre dois estados deste poço?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um elétron preso em um poço de potencial infinito unidimensional, e a energia do estado fundamental desse elétron é de 11,9 eV. A pergunta é: qual é o maior comprimento de onda de um fóton que pode ser emitido quando o elétron faz uma transição entre dois estados desse poço? Para resolver isso, vamos precisar entender como as energias dos estados estão quantizadas nesse tipo de sistema e como relacionar essa diferença de energia com o comprimento de onda do fóton emitido.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre os níveis de energia em um poço de potencial infinito unidimensional. Nesse modelo, as energias permitidas para o elétron são quantizadas e dadas por uma fórmula específica. A energia de cada estado $ n $ é proporcional ao quadrado desse número quântico $ n $. A fórmula geral para a energia dos estados é:
onde:
- $ E_n $ é a energia do estado $ n $,
- $ n $ é o número quântico principal (1, 2, 3, …),
- $ E_1 $ é a energia do estado fundamental (quando $ n = 1 $).
Passo 3
Sabendo que a energia do estado fundamental $ E_1 $ é 11,9 eV, podemos calcular as energias dos primeiros estados:
- Para $ n = 1 $:
- Para $ n = 2 $:
- Para $ n = 3 $:
E assim por diante.
Passo 4
Agora, queremos encontrar o maior comprimento de onda de um fóton emitido em uma transição entre dois estados. O comprimento de onda está inversamente relacionado à energia do fóton emitido:
onde:
- $ \lambda $ é o comprimento de onda,
- $ h $ é a constante de Planck ($ 4,1357 \times 10^{-15} , eV·s $),
- $ c $ é a velocidade da luz ($ 3 \times 10^8 , m/s $),
- $ \Delta E $ é a diferença de energia entre os dois estados.
Para obter o maior comprimento de onda, precisamos da menor diferença de energia possível, ou seja, entre dois estados consecutivos menores. Vamos considerar a transição do estado $ n = 2 $ para $ n = 1 $:
Passo 5
Agora, usando a fórmula do comprimento de onda:
Sabemos que $ hc $ é aproximadamente $ 1240 , eV·nm $, então:
Resposta
O maior comprimento de onda do fóton que pode ser emitido nessa transição é aproximadamente 34,7 nm.