O elétron de um átomo de hidrogênio se move em torno do próton com uma velocidade de
. Qual é a diferença percentual entre os valores relativístico e newtoniano do momento?
Passo 1
Dados fornecidos (peguei estes valores no enunciado):
- velocidade do elétron:
. - massa do elétron:
(valor conhecido: ; para este cálculo a ordem de grandeza basta). - velocidade da luz: vou usar
.
O que o enunciado pede:
- calcular a diferença percentual entre o momento relativístico e o momento newtoniano (ou clássico) do elétron, isto é, o quanto o resultado relativístico difere, em porcentagem, do valor clássico.
Passo 2
Fórmulas relevantes (explicadas):
- Momento newtoniano (clássico):
onde
é a massa da partícula e
a velocidade. É a fórmula que usamos em mecânica não-relativística.
- Momento relativístico:
onde
é o fator de Lorentz definido por
Explicando:
corrige (aumenta) o momento quando a velocidade se aproxima de
. Para velocidades muito pequenas comparadas a
,
e as duas fórmulas dão resultados praticamente iguais.
Passo 3
Expressão da diferença percentual entre os momentos:
- A diferença absoluta é
. - A diferença percentual relativa ao valor clássico é então
Ou seja, não precisamos calcular
nem
separadamente: a porcentagem depende só de
.
Passo 4
Calcular
a partir de
e
. Primeiro defino
e calculo
:
Passo 5
Como
é muito pequeno (
), posso usar a aproximação em série para
:
porque os termos de ordem superior em
são negligenciáveis aqui. Portanto
Convertendo para porcentagem:
Arredondando de forma razoável (três algarismos significativos) obtemos
.
Breve interpretação: essa diferença é extremamente pequena — o momento clássico é praticamente idêntico ao relativístico para
(velocidade muito menor que
).