O elétron de um átomo de hidrogênio se move em torno do próton com uma velocidade de 2,2 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual é a diferença percentual entre os valores relativístico e newtoniano do momento?

Passo 1

Dados fornecidos (peguei estes valores no enunciado):
  • velocidade do elétron: v = 2,2\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}.
  • massa do elétron: m (valor conhecido: m = 9{,}109\,383\,56\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}; para este cálculo a ordem de grandeza basta).
  • velocidade da luz: vou usar c = 3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
O que o enunciado pede:
  • calcular a diferença percentual entre o momento relativístico e o momento newtoniano (ou clássico) do elétron, isto é, o quanto o resultado relativístico difere, em porcentagem, do valor clássico.

Passo 2

Fórmulas relevantes (explicadas):
  • Momento newtoniano (clássico): p_{\text{cl}} = m v,
onde m é a massa da partícula e v a velocidade. É a fórmula que usamos em mecânica não-relativística.
  • Momento relativístico: p_{\text{rel}} = \gamma m v,
onde \gamma é o fator de Lorentz definido por \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Explicando: \gamma corrige (aumenta) o momento quando a velocidade se aproxima de c. Para velocidades muito pequenas comparadas a c, \gamma\approx1 e as duas fórmulas dão resultados praticamente iguais.

Passo 3

Expressão da diferença percentual entre os momentos:
  • A diferença absoluta é p_{\text{rel}}-p_{\text{cl}}=(\gamma-1)mv.
  • A diferença percentual relativa ao valor clássico é então
\Delta\% = 100\% \cdot \frac{p_{\text{rel}}-p_{\text{cl}}}{p_{\text{cl}}} = 100\% \cdot \frac{(\gamma-1)mv}{mv} = 100\% \cdot (\gamma-1).
Ou seja, não precisamos calcular m nem v separadamente: a porcentagem depende só de \gamma-1.

Passo 4

Calcular \gamma a partir de v e c. Primeiro defino \beta = \dfrac{v}{c} e calculo \beta^{2}:
\beta = \frac{v}{c} = \frac{2{,}2\times10^{6}}{3{,}00\times10^{8}} = 7{,}333\ldots\times10^{-3}.
\beta^{2} = (7{,}333\ldots\times10^{-3})^{2} = 5{,}377777\ldots\times10^{-5}.

Passo 5

Como \beta^{2} é muito pequeno ( \sim 5{,}38\times10^{-5}), posso usar a aproximação em série para \gamma:
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}} \approx 1 + \frac{1}{2}\beta^{2},
porque os termos de ordem superior em \beta^{2} são negligenciáveis aqui. Portanto
\gamma - 1 \approx \frac{1}{2}\beta^{2} = \frac{1}{2}\cdot 5{,}377777\ldots\times10^{-5} = 2{,}688888\ldots\times10^{-5}.
Convertendo para porcentagem:
\Delta\% = 100\% \cdot (\gamma-1) \approx 100\% \cdot 2{,}688888\ldots\times10^{-5} = 0{,}002688888\ldots\%.
Arredondando de forma razoável (três algarismos significativos) obtemos \Delta\% \approx 0{,}00269\%.
Breve interpretação: essa diferença é extremamente pequena — o momento clássico é praticamente idêntico ao relativístico para v=2{,}2\times10^{6}\\ \mathrm{m/s} (velocidade muito menor que c).

Resposta

0,00269\%

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