A velocidade orbital do Sol em relação ao centro da Via Láctea é aproximadamente 250 \mathrm{~km} / \mathrm{s}. Determine a diferença percentual entre o valor relativístico e o valor newtoniano do momento do Sol.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
  • Pede a diferença percentual entre o momento relativístico e o momento newtoniano do Sol quando ele se move em torno do centro da Via Láctea.
  • Dados fornecidos:
    • velocidade do Sol: \,v=250\\ \mathrm{km/s}.
    • a velocidade da luz (constante conhecida): \,c=299\,792\,458\\ \mathrm{m/s}.
  • Observação útil: a massa do Sol aparece tanto no momento newtoniano quanto no relativístico, então provavelmente ela vai se cancelar no cálculo percentual (não é necessária a sua numeração).

Passo 2

Fórmulas relevantes e significado das grandezas:
  • Momento (momentum) na mecânica newtoniana: \,p_{\text{N}}=m v, onde
    • \,m é a massa do corpo (aqui: massa do Sol),
    • \,v é a velocidade.
  • Momento na relatividade restrita: \,p_{\text{R}}=\gamma m v, onde
    • \gamma é o fator de Lorentz definido por \displaystyle \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}},
    • \,c é a velocidade da luz no vácuo.
  • Intuição sobre \gamma: quando v\ll c, tem-se \gamma\approx1; para v muito pequeno comparado a c o efeito relativístico é quase nulo.

Passo 3

Expressão da diferença percentual que vamos calcular:
  • A diferença absoluta entre os momentos é \,p_{\text{R}}-p_{\text{N}}=(\gamma-1)m v.
  • A diferença percentual relativa ao valor newtoniano é
\frac{p_{\text{R}}-p_{\text{N}}}{p_{\text{N}}}\times100\%=(\gamma-1)\times100\%.
  • Nota: a massa m e a velocidade v cancelam, então só precisamos de \gamma, que depende de v/c.

Passo 4

Calcular \beta=v/c com as unidades corretas:
  • Converter a velocidade para SI: \,v=250\\ \mathrm{km/s}=250\,000\\ \mathrm{m/s}.
  • Calcular \beta:
\beta=\frac{v}{c}=\frac{250\,000}{299\,792\,458}\approx0,000834028.
  • Aqui \beta é adimensional e muito pequeno (bem menor que 1).

Passo 5

Aproximação para \gamma válida quando \beta\ll1 e cálculo numérico:
  • Para \beta\ll1 podemos usar a expansão em série
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\approx 1+\frac{1}{2}\beta^2+\mathcal{O}(\beta^4).
  • Calculando \beta^2:
\beta^2\approx(0,000834028)^2\approx6,9569\times10^{-7}.
  • Portanto
\gamma-1\approx\frac{1}{2}\beta^2\approx\frac{1}{2}\times6,9569\times10^{-7}\approx3,4785\times10^{-7}.

Passo 6

Converter para diferença percentual:
(\gamma-1)\times100\%\approx3,4785\times10^{-7}\times100\%=3,4785\times10^{-5}\%.
Interpretação rápida: a diferença percentual é da ordem de 10^{-5}\%, ou seja, absolutamente insignificante para essa velocidade — o momento newtoniano e o relativístico são praticamente iguais nesse caso.

Resposta

3,48\times10^{-5}\%

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