A velocidade orbital do Sol em relação ao centro da Via Láctea é aproximadamente
. Determine a diferença percentual entre o valor relativístico e o valor newtoniano do momento do Sol.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
- Pede a diferença percentual entre o momento relativístico e o momento newtoniano do Sol quando ele se move em torno do centro da Via Láctea.
- Dados fornecidos:
- velocidade do Sol:
. - a velocidade da luz (constante conhecida):
.
- velocidade do Sol:
- Observação útil: a massa do Sol aparece tanto no momento newtoniano quanto no relativístico, então provavelmente ela vai se cancelar no cálculo percentual (não é necessária a sua numeração).
Passo 2
Fórmulas relevantes e significado das grandezas:
- Momento (momentum) na mecânica newtoniana:
, onde -
é a massa do corpo (aqui: massa do Sol), -
é a velocidade.
-
- Momento na relatividade restrita:
, onde -
é o fator de Lorentz definido por , -
é a velocidade da luz no vácuo.
-
- Intuição sobre
: quando , tem-se ; para muito pequeno comparado a o efeito relativístico é quase nulo.
Passo 3
Expressão da diferença percentual que vamos calcular:
- A diferença absoluta entre os momentos é
. - A diferença percentual relativa ao valor newtoniano é
- Nota: a massa
e a velocidade cancelam, então só precisamos de , que depende de .
Passo 4
Calcular
com as unidades corretas:
- Converter a velocidade para SI:
. - Calcular
:
- Aqui
é adimensional e muito pequeno (bem menor que 1).
Passo 5
Aproximação para
válida quando
e cálculo numérico:
- Para
podemos usar a expansão em série
- Calculando
:
- Portanto
Passo 6
Converter para diferença percentual:
Interpretação rápida: a diferença percentual é da ordem de
, ou seja, absolutamente insignificante para essa velocidade — o momento newtoniano e o relativístico são praticamente iguais nesse caso.