Mostre que d(\gamma m u)=m\left(1-u^{2} / c^{2}\right)^{-3 / 2} d u.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados.
  • Pede para mostrar que \,d(\gamma m u)=m\left(1-u^{2}/c^{2}\right)^{-3/2}du.
  • As quantidades envolvidas são: m (massa, constante), u (velocidade, variável) e c (velocidade da luz, constante).
  • A função \gamma é o fator de Lorentz definido por \displaystyle \gamma=\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{-1/2}.
    Objetivo: calcular o diferencial (em função de du) de \gamma\,m\,u.

Passo 2

Estratégia de diferenciação e regras que usaremos.
  • Como m é constante, \,d(\gamma m u)=m\,d(\gamma u).
  • Para d(\gamma u) usaremos a regra do produto: para funções f e g,
d(fg)=f\,dg+g\,df.
Aqui f=\gamma(u) e g=u, logo
d(\gamma u)=\gamma\,du+u\,d\gamma.
  • Para d\gamma usaremos a regra da cadeia, pois \gamma(u)=\left(1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{-1/2} é uma função composta.

Passo 3

Calcular d\gamma/du aplicando a regra da cadeia passo a passo.
Escrevendo \gamma(u)=\left(1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{-1/2}, chame o interior de f(u)=1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}. Então
\frac{d\gamma}{du}=\frac{d}{du}\big(f(u)^{-1/2}\big) = -\frac{1}{2}f(u)^{-3/2}\cdot f'(u).
Agora calcule f'(u):
f'(u)=\frac{d}{du}\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)=-\frac{2u}{c^{2}}.
Substituindo em \dfrac{d\gamma}{du}:
\frac{d\gamma}{du}=-\frac{1}{2}f(u)^{-3/2}\left(-\frac{2u}{c^{2}}\right)=\frac{u}{c^{2}}\,f(u)^{-3/2}.
Voltando a f(u),
\frac{d\gamma}{du}=\frac{u}{c^{2}}\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{-3/2}.

Passo 4

Substituir d\gamma/du na expressão de d(\gamma u) e simplificar.
Começando de
\frac{d}{du}(\gamma u)=\gamma+u\frac{d\gamma}{du},
substitua \gamma=\left(1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{-1/2} e \dfrac{d\gamma}{du}=\dfrac{u}{c^{2}}\left(1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{-3/2}:
\frac{d}{du}(\gamma u)=\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{-1/2} +u\cdot\frac{u}{c^{2}}\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{-3/2}.
Fatore \left(1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{-3/2} em evidência:
\frac{d}{du}(\gamma u)=\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{-3/2}\!\left[\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)+\frac{u^{2}}{c^{2}}\right].
No colchete a soma simplifica para 1, pois \left(1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}\right)+\dfrac{u^{2}}{c^{2}}=1. Portanto
\frac{d}{du}(\gamma u)=\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{-3/2}.

Passo 5

Voltar ao diferencial total com o fator m e escrever o resultado final.
Lembrando que d(\gamma m u)=m\,d(\gamma u)=m\left(\dfrac{d}{du}(\gamma u)\right)du, substitui-se o resultado do passo anterior:
d(\gamma m u)=m\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{-3/2}du.

Resposta

d(\gamma m u)=m\left(1-u^{2}/c^{2}\right)^{-3/2}du

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