Mostre que
.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados.
- Pede para mostrar que
. - As quantidades envolvidas são:
(massa, constante), (velocidade, variável) e (velocidade da luz, constante). - A função
é o fator de Lorentz definido por .
Objetivo: calcular o diferencial (em função de) de .
Passo 2
Estratégia de diferenciação e regras que usaremos.
- Como
é constante, . - Para
usaremos a regra do produto: para funções e ,
Aqui
e
, logo
- Para
usaremos a regra da cadeia, pois é uma função composta.
Passo 3
Calcular
aplicando a regra da cadeia passo a passo.
Escrevendo , chame o interior de
. Então
Escrevendo
Agora calcule
:
Substituindo em
:
Voltando a
,
Passo 4
Substituir
na expressão de
e simplificar.
Começando de
Começando de
substitua
e
:
Fatore
em evidência:
No colchete a soma simplifica para
, pois
. Portanto
Passo 5
Voltar ao diferencial total com o fator
e escrever o resultado final.
Lembrando que , substitui-se o resultado do passo anterior:
Lembrando que